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Repères sur les probabilités en collège

Eduquer le rapport à l’aléatoire

lundi 8 septembre 2014, par Alfred Bartolucci


Le calcul des probabilités fournit des « modèles ». L’évaluation des probabilités dans des situations de la vie sociale, pose la question du choix d’un modèle adapté à la réalité à traiter, éventuellement de sa modélisation à la suite d’essais successifs et rectifications.

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Repères pour les probabilités (texte complet)

Point 1

La probabilité d’une issue est égale au quotient du nombre cas favorables (nombre de fois où l’issue se réalise) par le nombre total cas possibles lors de l’expérience (lancer, tirage, …).

Point 2

Le traitement de l’exemple du point 1 est valable dans les situations simples où toutes les issues sont régies par les mêmes « causes » c’est à dire ont la même chance de se produire. Dans l’exemple d’un lancer de dé (6 issues) ou d’une pièce (2 issues), on fait l’hypothèse que ni le dé ni la pièce, ne sont truqués, dans le cas du tirage d’une boule on indique que les boules sont cachées à la vue et indiscernables au toucher. Dans de telles situations on dit que toutes les issues sont équiprobables ou qu’il y a équiprobabilité. Quand il y a équiprobabilité, le principe en œuvre est le suivant : Pour un grand nombre d’essais la probabilité d’une issue est égale à (la limite de) sa fréquence d’apparition.

Point 3

On peut rencontrer des situations où on a des intuitions sur la probabilité de certaines d’issues mais on a besoin de clarifier les diverses issues possibles et de contrôler s’il y a ou non équiprobabilité de ces diverses issues. Pour cela on peut faire des essais, des expériences pour estimer et conclure de la probabilité de telle issue mais à condition que ces expériences soient répétables de façon identique et indépendantes … A condition aussi que le nombre d’essais soit assez grand …

Point 4

Dans le cas, d’expériences répétables et indépendantes, on peut prolonger les essais « de manipulation » par des expériences avec un outil de modélisation comme le tableur : on parle alors d’expérience par simulation. Dans ce cas, après avoir formalisé la situation sur tableur et contrôlé sa pertinence, on peut engager le traitement. L’observation de l’évolution des fréquences des issues se fait à l’économie alors que le nombre d’essais est très grand. L’outil permet de visualiser la « stabilisation » progressive des résultats. La propriété sous jacente en jeu ici, comme dans toutes les séries d’essais précédant est : La fréquence d’un événement, dans une suite d’expériences aléatoires identiques et indépendantes (réelles ou simulées), tend à se rapprocher de sa probabilité quand le nombre d’essais devient très grand (augmente indéfiniment).

Point 5

On peut rencontrer des situations où on ne sait pas, même intuitivement, envisager à priori des fréquences pour les issues possibles. On a besoin de faire des essais, des expériences … pour repérer des régularités, estimer et conclure de la valeur de la probabilité de telle issue. Pour cela on expérimente pour un nombre d’essais « suffisamment grands », observe l’évolution des fréquences des issues obtenues, jusqu’à ce que les « résultats se stabilisent ».

Point 6

VOCABULAIRE DES PROBABILITES

  • Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas en prévoir avec certitude le résultat.
  • Une expérience aléatoire est un protocole clairement défini (lancer de dé, d’une punaise, tirage de boules, choix de points sur un segment, …) :
    • Les issues sont identifiées avant d’engager le protocole.
    • L’issue de l’expérience en cours est imprédictible au moment où on la réalise.
  • On appelle issue d’une expérience aléatoire tout résultat de cette expérience.
  • Tout ensemble d’issues est appelé événement : L’événement « obtenir un nombre pair en lançant un dé » est constitué des issues 2 ; 4 et 6.
  • Un événement élémentaire contient une seule issue.
  • Un événement certain contient toutes les issues : L’événement « obtenir un nombre inférieur à 7 en lançant un dé » est constitué des issues 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6.
  • Un événement impossible ne contient aucune issue : L’événement « obtenir un nombre supérieur à 10 en lançant un dé » n’est constitué d’aucune issues.
  • Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se produire en même temps. L’événement « obtenir un nombre pair lançant un dé » est L’événement « obtenir 3 » sont incompatibles.
  • Si deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités.
  • La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 On peur l’exprimer sous diverses formes ( décimale, fractionnaire, pourcentage)

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