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Mettre en équation et la traiter pour résoudre un problème !

jeudi 14 mai 2009, par Alfred Bartolucci


Pour que les élèves intègrent les équations comme un outil il n’est pas suffisant de leur apprendre les procédures pour résoudre les équations du programme a+x=b ; a.x=b ; x-a=b ; a-x=b : a:x=b ; x:a=b.... La centration excessive lors des premiers apprentissages sur les aspects techniques, dissimule pour bon nombre d’élèves les enjeux et la portée du passage à l’équation pour résoudre certains problèmes. C’est par la prise de conscience de ces enjeux et de leur portée que les élèves peuvent trouver du sens à tous les apprentissages liés à la notion d’équation.
Comment contribuer à cette prise de conscience ? Nous proposons quelques repères pour concevoir des parcours de progressions en réponse à cette question.

REPERES : classes d’activités mathématiques

Classes de pilotages dans le traitement engagé dans une activité mathématique
Cette typologie n’est pas absolue, il y a bien des tâches qui combinent les trois classes de pilotage. Elle permet cependant de distinguer trois grandes catégories de pilotages qui renvoient à trois grandes catégories d’objectifs de maîtrise par les élèves dans la conduite d’activités mathématiques. Elle sert également, si elle est proposée aux élèves, de repère pour analyser une tâche en vue de la traiter : lors de la lecture d’une consigne, « si l’élève est en mesure de faire une hypothèse sur le type de pilotage induit », on peut penser qu’il peut mieux organiser son activité personnelle.

  • 1. Activités en pilotage automatique  : ce sont toutes les tâches que nous faisons, spontanément, sans véritablement avoir conscience des « règles » que l’on mobilise (souvent on mobilise des règles non explicites différentes des règles canoniques).
  • 2. Activités en pilotage par les règles  : ce sont toutes les tâches qui relèvent d’identification de domaines de savoirs, de choix de règles répondant aux conditions données et de mise en œuvre, pas à pas, de procédures associées (Utiliser l’énoncer de Pythagore pour calculer une mesure, effectuer un calcul numérique ou littéral, construire le cercle circonscrit à un triangle, montrer en situation familière la nature d’un quadrilatère, ...)
  • 3. Activités en pilotage stratégique  : ce sont des tâches pour lesquelles on ne dispose d’aucune piste de traitement à priori sur la base des règles et propriétés dont on dispose. Des essais, des traductions, des schématisations, le traitement de cas particuliers permettent d’explorer des possibles. Dans certains cas on parvient à une réponse « certifiée » à la question posée. On peut même stabiliser et établir un nouveau mode de traitement, qui permettra dans des situations similaires d’éviter le recours à la phase de tatonnement ....
    Cette classification concerne le pilotage du traitement d’une activité, elle s’applique aux divers champs de savoirs des mathématiques. Pour les activités de « calculs » auxquelles on rattache les équations cela donne :
    • Le traitement en pilotage automatique concerne essentiellement les calculs pensés : l’élève n’a pas besoin de poser des calculs, il dispose en mémoire de « savoirs » partiels et d’algorithmes « spontanés » qui lui permettent « en un éclair » de produire le bon résultat.
    • Le traitement en pilotage raisonné, avant tout apprentissage sur les équations, concerne la résolution de problèmes familiers de calculs à étapes, la mise en œuvre de procédures de calculs connues, l’exécution de techniques (opérations posées). Ici, par lecture de la consigne, l’élève projette les étapes possibles, identifie les propriétés à mobiliser, met en œuvre le traitement en contrôlant sa planification et l’excécution des diverses des algorithmes en jeu.
    • Le traitement en pilotage stratégique concerne tous les problèmes pour lesquels aucune piste de traitement en calcul direct n’apparaît ... L’élève ne voit pas comment commencer, ni ce qu’il pourrait faire. Une piste peut consister à envisager et à organiser des essais/erreurs avec des ajustements successifs (localement on peut faire appel à des techniques et des règles), il peut considérer des cas particuliers, schématiser les données de l’énoncé .... Le pilotage stratégique est orienté vers la recherche de « la réponse attendue », mais sans algorithme à priori.
      L’appartenance d’un énoncé à une catégorie de traitemet est fonction de la construction de l’énoncé, des tâches auxquelles il engage mais aussi du seuil de compétence des élèves auxquels l’énoncé est destiné. Ainsi, pour des élèves qui n’ont pas encore réalisé les apprentissages relatifs aux équations l’éononcé « Déterminer, si c’est possible, les mesures des côtés d’un rectangle dont le périmètre est de 246 m et dont la longueur mesure 55m de plus que la laugeur » en appelle à un pilotage stratégique.

Classes d’approches de situations « calcul ».
Là encore cette typologie n’est pas absolue. Elle est intéressante à travailler avec les élèves car elle peut être un appui pour faire comprendre aux élèves la différence « stratégique » entre le mode « calcul direct » ou « calcul numérique » et le « mode équation ». Stratégiquement, ce sont les obstacles rencontrés pour résoudre certains problèmes avec les seuls outils du calcul numérique qui rendent pertinent l’appel au mode équation.

  • 1. Mode calcul direct. L’élève se trouve confronté à des données et à une demande. Il doit déterminer une valeur « non donnée ». A partir de données et de la situation, l’élève peut « identifier » les calculs à exécuter, les opérations ou les règles associées (règles de priorités, ...) à mobiliser...
  • 2. Mode essais / erreurs, traduction, schématisation, .... Les données et la situation ne permettent pas à l’élève de percevoir quels calculs engager. Les données numériques et la situation permettent d’exprimer des relations entre "grandeurs" mais sans être concluant pour déterminer la valeur « à chercher ». Dans cette approche, comme il n’y a pas de piste de calcul direct, l’élève peut explorer, traduire ou schématiser certaines relations entre grandeurs de la sitaution, faire quelques essais / erreurs pour voir ce que cela donne puis organiser des essais plus systématiques finalisés dans la production de la « réponse attendue ». Quand cette approche a aboutit, la relecture de la démarche suivie peut révéler après coup une méthode de traitement utilisable pour d’autres situations analogues. ... Dans certains cas l’élève peut mettre beaucoup de temps pour « aboutir » à la réponse attendue ... et même il peut ne pas y parvenir...
  • 3. Mode équation. Pour un certain nombre de situations que l’on rencontre fréquemment, la difficulté à « voir » les calculs directs à faire et le caractère hasardeux de l’approche [essais / erreurs, traduction, schématisation] appellent de nouveaux outils de traitement. Cette approche de résolution de problèmes utilise la mise en équation : cela consiste à traduire des relations entre grandeurs d’une situation donnée par une ou des égalités « que l’on suppute » être vraies s’ils existe des valeurs telles que ... Une équation met en jeu des expressions littérales dans une relation « d’égalité supputée », une lettre représentant symboliquement une quandeur inconnue de la situation. Résoudre une équation c’est déterminer, si elles existent, les valeurs d’une inconnue pour lesquelle l’égalité est vérifiée. L’intérêt du mode équation est de sortir du mode « essais-erreurs » hasardeux : quand la mise en équation a abouti, la résolution relève d’un pilotage par les règles, ce qui est un grand gain en temps et en sécurité de justesse de la réponse produite. Les règles du mode équation reprennent certaines règles du calcul numérique : en particulier pour résoudre une équation en agissant pareillement sur les deux memebres « d’une égalité suputée vraie » par équivalences ou par conséquences et dans certaines conditions on obtient une égalité vraie. Pour d’autres règles il y a des changements. Ainsi, pour la règle des priorités des opérations dans une suite de calculs, l’intervention de la règle dans la démarche de résolution d’une équation se fait dans l’ordre inverse de celui où on effectue des calculs : pour résoudre une équation on applique les règles de priorités opératoires à l’envers !

Les élèves doivent vivre dans leurs activités l’économie de temps et « d’efficience » qu’apporte l’appel au « mode équation ». Vivre c’est dans le sens d’éprouver la nécessité du passage du mode calcul direct au mode essais / erreurs et du mode essais / erreurs eu mode équation et cela en de multiples occasions « prémédités ». C’est une condition pour qu’ils prennent effectivement la mesure et la portée de chaque mode qui sont tous importants. La survalorisation du mode équation, surtout quand il ne s’impose pas sous le seul argument que c’est au programme est contre productif si on souhaite que les élèves donnent du sens aux apprentissages liés aux équations.

Champs d’activités

Quand les élèves ont une visibilité suffisante sur les divers pilotages d’activités et les divers modes de calculs, les apprentissages liés aux équations posent moins d’obstacles à tous les élèves surtout ceux qui ont besoin de « voir à quoi ça sert », l’objet l’équation acquiert le statut d’outil. Les activités à proposer aux élèves devraient satisfaire à deux nécessités :

  • dans les activités données à traiter, l’équation doit s’imposer aux élèves comme « ce qui permet de sortir d’une impasse » et non « ce qu’il faut s’obliger à utiliser » alors qu’on pourrait procéder autrement et avec les mêmes exigences de validité.
  • le traitement en mode équation est différent du mode calcul : sa maîtrise relève d’activités à s’exercer aussi sur divers aspects techniques. S’il ne faut pas trop se polariser sur les apprentissages techniques, ce serait une erreur que de sousestimer leur place.

Une troisième nécessité, moins facile à expliciter, est que les apprentissages sur les équations doivent tenir compte des diverses liaisons que le concept d’équation entretient avec d’autres concepts. Nous avons représenté un schéma qui illustre quelques liaisons : que le concept entretien avec d’autres concepts. Réseau "EQUATION" Dans la suite nous présentons quelques activités ciblées sur un lien particulier entre la notion d’équation et un autre concept du réseau. Ces activités sont conçues pour être cherchées dans le cadre d’un travail par binôme ou par groupe de façon à favoriser les confrontations entre élèves en vue d’une mise en commun dans le cadre d’un débat.

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1

Mettre en formule.
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2

Mettre en formule / Mettre en équation.
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3

Adapter une formule générale à une situation particulière.
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4

Imaginer une formule à partir d’un tableau de valeurs.
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5

Exprimer en fonction de … pour résoudre un problème.
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6

Tester, dans une situation, si une valeur satisfait une condition.
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7

Lien « équation » et équilibre d’une balance.
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8

Résolution d’équations« à vue d’œil » et par bon sens.
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9

Décoder / Coder une équation sous forme de question.
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10

Faire le lien entre des « additions à trous » et l’écriture « a + x = c »
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11

Substituer des valeurs pour vérifier une égalité.
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12

Equation en situation de doute.
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13

Utiliser le signe « est égal à ».