PRATIQUE MATH

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Compétence MATHEMATIQUE E. Chercher, prouver Activités mobilisant "G2" Propriétés géométriques

lundi 6 juillet 2009, par Alfred Bartolucci


I. Situation de doute, de recherche maths « ouverte » : exploration, essais erreurs, clarifications ... validation par arguments ou falsification

Enoncé 1 On donne quatre conditions :

  • M, N et I étant trois points tels que MI = IN.
  • La perpendiculaire à [MN] passe par le point I.
  • Le point I n’est pas le milieu du segment [MN].
  • L’aire du triangle IMN est ¼ de l’aire du carré de côté [MN]. Existe-t-il un point I vérifiant les quatre conditions simultanément ? Justifier.

Enoncé 2

EFG est un triangle rectangle en E.
Soit M un point de la droite (FG).
La parallèle à (EF) qui passe par M coupe (EG) en U, et la parallèle à (EG) qui passe par M coupe (EF) en V.
Peut-on trouver une position du point M pour laquelle la longueur UV soit la plus petite possible ?

Enoncé 3
ABCD et EFGH sont deux carrés. L’un a pour côté 6 cm, l’autre a pour côté 10 cm. Le sommet E du carré de côté 10 cm est le centre du carré de côté 6 cm. Le rectngle EFGH pivote autour du point E mais le segment [EF] coupe toujours le segment [BC]. Le point d’intersection M est plus ou moins éloigné de B. En fonction de la distance BM, l’aire du quadrilatère EMCN varie-t-elle ou est-elle constante ?

Enoncé 4

Quand sur les côtés d’un carré ABCD on place des points E, F, G et H dans les conditions de la figure, EFGH est lui même un carré. Mais si ABCD est un rectangle non carré, en plaçant les point E, F, G et H dans les mêms conditions est-ce que EFGH est un rectangle ? Justifier.

II. Situation casse tête : pratique ou ludique, pas explicitement maths, : traitement par « réussir » pour « comprendre comment après coup »

Enoncé 1
Trois points sur un cercle déterminent quatre régions du disque. Combien quatre points déterminent-ils de région du disque ? Combien de régions du disque pour un nombre quelconque de points du cercle ?

Enoncé 2
Comment s’y prendre pour tracer un cercle et son centre sur une feuille blanche sans lever le crayon ?

III. Situation classique de construction de chainons et d’enchaînements déductifs : communication d’une démonstration

Enoncé 1
ABCD est un parallélogramme.
Le point M appartient au segment [AB], le point N appartient au segment [DC] et AM = DN.
En tenant compte de ces informations et des informations codées sur la figure peut-on prouver que DM=MC ?

Enoncé 2
Dans le triangle ANC, le point M appartient au segment [AB] et le point N appartient au segment [AC]. En tenant compte des informations de la figure et sachant que AM = 2,5 cm et AN =6,5 cm, démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Enoncé 3
On donne une partie du tracé d’un cercle. Le centre du cercle n’est pas donné. Justifier une démarche fiable de construction du centre de ce cercle.

Enoncé 4
Les deux cercles de diamètre [AB] et [BC]se coupent en B et en M. Les points A, M et C sont-ils alignés comme le laisse penser la figure ?

Enoncé 4
Le triangle est quelconque. Les point I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. (AH) est la hauteur du triangle relative au sommet A. Par I on trace la parallèle à (AH) qui coupe [BC] en K Par J on trace la parallèle à (AH) qui coupe [BC] en L Quel que soit le triangle de départ et dans les conditions décrites ci-dessus le quadrilatère IKLJ est-il rectangle ?

Enoncé 5
RST est un triangle et l’angle en T mesure 48°. Le cercle de diamètre RS et de centre O milieu de [RS] coute coupe [RT] en E et [ST] en F. [SE]et [RF] se coupent en G. A-t-on assez d’information pour déterminer la mesure de l’angle de sommet G et de côtés [GE) et [GF) ? Précisez votre réponse.

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