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MULTIPLES - DIVISEURS - PGCD

vendredi 10 juillet 2009, par Alfred Bartolucci


Multiples, diviseurs, PGCD, divisibilité ... Que dirais-tu sur ces savoirs en les reliant ?

DIVISEURS & MULTIPLES

Le vocabulaire associé à l’égalité 4x3 = 12 est :

  • 4 est un diviseur de 12
  • 3 est un diviseur de 12
  • 12 est un multiple de 3 et de 4.
    Cette façon de dire vient du fait qu’on peut poser :

DIVISEURS COMMUNS

  • 3x4 = 12
  • 10x3 = 30
  • 3x16 = 48
  • 41x3 = 123

On remarque que le nombre 3 est un facteur dans les produits qui précèdent.
Ainsi le nombre 3 est à la fois un diviseur de 12, un diviseur de 30, un diviseur de 48 et un diviseur de 123. On résume en disant que 3 est un diviseur commun à 12, à 30, à 48 et à 123.

On a :

1x12 = 122x6 = 123x4 = 12
1x30 = 302x15 = 303x10 = 305x6 = 30
1x48=482x24=483x16=484x12=486x8=48
1x123=1233x41=123

on en déduit que

  • les diviseurs de 12 sont |1|2|3|4|6|12|
  • les diviseurs de 24 sont |1|2|3|5|6|10|15|30|
  • les diviseurs de 48 sont |1|2|3|4|6|8|12|16|24|48|
  • les diviseurs de 123 sont |1|3|41|123|

Les diviseurs communs de 12, de 30, de 48 et de 123 sont 1 et 3. Mais, les diviseurs communs de 12 et de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6.
Ainsi pour 12 ; 30 ; 48 et 123 le plus grand des diviseurs communs est 3 mais pour 12 et 30 le plus grand des diviseurs communs est 6.

On note PGCD le plus grand diviseur commun de deux nombres. On écrit : PGCD(12 ; 30) = 6

Déterminer le PGCD de deux nombres

PROPRIETE : Algorithme des différences
a et b étant deux entiers positifs et n étant un entier positif non nul. Si n nombre est un diviseur du nombre a et du nombre b alors on peut mettre en facteur le nombre n dans la différence (a-b).
On en déduit que n est aussi un diviseur de (a-b).

On utilise cette propriété pour déterminer le pgcd de deux nombres : PGCD(72 ; 48) = PGCD(48 ; 24) = PGCD (24 ; 24) = 24

Algorithme d’Euclide
a et b sont deux entiers positifs non nuls [a étant plus grand ou égal à b] et r est le reste dans la division euclidienne de a par b.
- Si r=0 , alors le PGCD de a et de b est b, sinon le PGCD est celui de b et de r.

Caractères de visibilité pour les entiers

Cas où il faut s’intéresser à la terminaison du nombre considéré
Pour savoir si un nmbre entier est divisible par des petits nombres il y a des trucs qui permettent trouver plus vite. La division a pour reste ZERO quand on divise un nombre :

  • PAR 2 chaque fois que le nombre divisé est pair : son chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
  • PAR 5 chaque fois que son chiffre des unités est 0 ou 5.
  • PAR 10 chaque fois que son chiffre des unités est 0.
  • PAR 100 chaque fois que le chiffre des unités et celui des centaines sont des 0.
  • PAR 25 chaque fois que le chiffre des unités et celui des centaines sont 00 ou 25 ou 50 ou 75.

Cas où il faut s’intéresser à la somme des chiffres du nombre considéré

  • PAR 3 chaque fois que le total de tous les chiffres qui interviennent dans le nombre est un nombre de la table de 3.
  • PAR 9 chaque fois que le total de tous les chiffres qui interviennent dans le nombre est un nombre de la table de 9.

Cas où le TRUC est plus complexe

  • PAR 11 chaque fois que la différence de la somme des chiffres de rang pair et de la somme des chiffres de rang impair est dans la table de 11. (Pour 191818 on a 8 + 8 + 9 = 25 et 1 + 1 + 1 = 3 ce qui fait 25 - 3 = 22 ; comme 22 est dans la table de 11 on peut affirmer que 191818 est divisible par 11).
  • PAR 7 chaque fois que en soustrayant le double du chifre des unités au nombre obtenu en cachant le chiffre des unités dans le nombre de départ on a un résultat de la table de 7. Pour 161, le double de 1 est 2, en cachant le chiffre des unités dans 161 on obtient 16 et 16 - 2 = 14 qui est dans la table de 7. On peut affirmer que 161 est divisible par 7.

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