PRATIQUE MATH

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SOLIDES ET OBJETS DE L’ESPACE

mardi 15 septembre 2009, par Alfred Bartolucci


Espaces et Solides : Comment décrire et se représenter les objets de l’espace ? Comment résoudre le problème de passage de trois à deux dimensions

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La troisième dimension


Se déplacer dans un lieu, aller en avant ou en arrière définit un espace à 1 dimension. Mais aller en avant ou en arrière aussi bien qu’à droite ou à gauche, ou encore prendre une direction intermédiaire entre ces deux directions définit un espace à 2 dimensions. Si on ajoute à ces libertés de mouvement la possibilité de monter ou de descendre, on se situe dans un espace à 3 dimensions. En mathématiques, la géométrie dans l’espace est l’étude d’objets et de propriétés dans un espace à 3 dimensions. En géométrie « classique » il n’y a pas de quatrième dimension ...

Une surface qui enveloppe une partie de l’espace à 3 dimensions est « l’enveloppe" d’un solide ». Une bulle de savon est un exemple physique, l’enveloppe d’un rôcher est plus « théorique ». Un rocher est un solide plein. Un rocher comme la bulle de savon sont deux exemples de solides. Un solide est défini par une enveloppe et peut être plein ou non. Quend il n’est pas plein, l’enveloppe d’un rocher s’appelle la surface du solide.

Pour un solide donné, on s’intéresse à la grandeur de l’espace limité par son enveloppe : on parle alors de volume du solide. Le volume d’un solide s’exprime par un nombre quand une unité de volume a été choisie. Les unités usuelles pour exprimer le volume d’un solide sont :

  • Le mètre cube : volume d’un entrepôt, d’une cuve, d’une pièce d’habitation ….
  • Le centimètre cube ou millilitre : volume d’un flacon de médicament, de produits d’entretien …
  • Le décimètre cube ou le litre : bouteilles de boissons, emballages de produits alimentaires …

En mathématiques on étudie certains solides particuliers.
Les caractéristiques des solides que l’on a choisi d’étudier sont liées à leur forme (à la forme de leurs faces ou de certaines de leurs faces), à une particularité du mode de calcul de leur volume...

  • Les solides « droits » : Un solide dit « droit » est défini par deux faces parallèles, de même forme et de mêmes mesures avec :
    • dans le cas où ces faces sont deux polygones les arêtes joignant leurs sommets respectifs sont perpendiculaires à toutes les demi-droites qu’on peut tracer à partir du sommet considéré sur la face considérée.
    • dans le cas où ces faces sont deux disques, la droite joignant les deux centres est perpendiculaire à tous les rayons de chacun des disques. Cette droite est l’axe du cylindre.
Parallélépipède rectangle (pavé droit)CubePrisme droit à base triangulaire (la base d’un prisme est un polygone à 3 côtés à plus)Cylindre
Les 6 faces sont des rectanglesLes 6 faces sont des carrés2 faces sont des polygones de mêmes dimensions, les autres faces (latérales) sont des rectangles.2 faces sont des disques de même rayon, la face latérale « déroulée » est un rectangle
  • Les solides « pointus » : Deux grandes sortes de solides pointus :
    • Les pyramides qui sont des solides ayant une face polygonale appelée base et des faces latérales triangulaires. Les faces latérales ont un point commun qui est le sommet de la pyramide. On appelle pyramide régulière une pyramide ayant pour base un polygone régulier et dont les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Un tétraèdre régulier est une pyramide dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux.
    • Un cône de révolution est un solide qui a un disque pour base et qui est engendré par la rotation d’un triangle rectangle.
      • Un côté de l’angle droit de ce triangle rectangle est un rayon du disque de base.
      • L’autre côté de l’angle droit est l’axe de rotation du triangle, une extrémité est sommet du cône.
      • L’axe de rotation est perpendiculaire au disque de base en son centre.
  • Les solides « boules » Une sphère est le solide engendré par la rotation d’un disque autour d’un diamètre du disque. Le rayon du cercle générateur est le rayon de la sphère, le entre du cercle est le centre de la sphère. _ Pour une sphère, tous les points de son enveloppe sont à égale distance du centre de la sphère. Les points A et B sont diamétralement opposés.
    Si l’enveloppe est pleine, on parle de boule : une boule est une sphère pleine. Si le point O est le centre d’une boule de rayon 4 cm, alors tout point de la boule est à une distance du point O inférieure ou égale à 4 cm.

Aires des enveloppes de solides

  • a. Cas des solides « droits » et solides « pointus » :

PATRON d’un SOLIDE : Pour certains solides il est possible de dessiner un patron : le patron est le dessin à plat des faces du solide qui découpé, permet d’obtenir par pliage et sans superposition le solide.

1Patron d’un pavé droit4Patron d’un cylindre
2Patron d’un cube5Patron d’une pyramide
3Patron d’un prisme droit6Patron d’un cône

L’aire de l’enveloppe d’un solide « droit » ou d’un solide « pointu » est égale à la somme des aires des faces de son patron.

  • b. Cas de la sphère :

On ne peut pas tracer le patron d’une sphère. On a établi que l‘aire de l’enveloppe d’une boule (l’aire de la surface d’une sphère) est égale à 4 fois l’aire d’un grand disque de la sphère.

Volume des solides

  • a. Cas des solides « droits » :

Un solide « droit » dont l’aire de la base est B a son volume proportionnel à la la mesure de la hauteur H du solide

  • b. Cas des solides « pointus » :

On a établi que le volume de tout solide « pointu » de base B égal au tiers du volume du solide droit de même base et de même hauteur :  :

B est l’aire de la base et H est la mesure de la hauteur du solide.

Cette formule permet de calculer le volume d’une pyramide et le volume d’un cône.

  • c. Cas des solides « boules » :

On a établi que le volume d’une boule de rayon R peut se calculer par la formule :

Cette formule fait apparaître que le volume d’une boule de rayon R est égal à 4/3xPI du volume d’un cube d’arête R. On sait que PI vaut un peu plus de 3, pour 4/3xPI cela donne un peu plus de 4. Ainsi, on peut affirmer que le volume d’une boule de rayon R est un peu plus grand que le volume de 4 cubes d’arête R.

Section de solides

a. Pour un cube ou pour un parallélépipède rectangle  :

  • la section par un plan parallèle à une face a la même forme et les mêmes dimensions que cette face quelle que soit la position du plan de coupe.
  • La section par un plan parallèle à une arête est un rectangle dont les dimensions sont à déterminer en fonction de la position du plan de coupe.
  • Si le plan de coupe n’est ni parallèle à une face, ni à une arête, il est possible d’obtenir pour section un triangle, un hexagone, …,

b. Pour un cylindre  :

  • La section par un plan par perpendiculaire à l’axe du cylindre est un disque de même rayon que le disque de base du cylindre
  • La section par un plan parallèle à l’axe du cylindre est un rectangle dont les dimensions sont à déterminer en fonction de la position du plan de coupe. Si la distance de l’axe du cylindre au plan de coupe est égale au rayon du cylindre, alors le plan de coupe est tangent au cylindre.
  • Si le plan de coupe n’est ni perpendiculaire à l’axe du cylindre, ni parallèle, alors la section est un « disque écrasé » ou une partie de telle figure, ELLIPSE ????

c. Pour un prisme droit : _ La section par un plan par parallèle à la base d’un prisme droit a la même forme et les mêmes dimensions que cette base quelle que soit la position du plan de coupe.

d. Pour une pyramide régulière ou un cône de révolution :

  • La section par un plan parallèle à la base d’un cône est un disque qui est une réduction du disque de base.
  • La section par un plan parallèle à la base d’une pyramide est un polygone qui a la même forme que la base de la pyramide mais dont les dimensions son en réduction.

Le rapport de réduction (des mesures de longueurs de la section par rapport aux mesures de longueurs de la base) est égal au quotient entre la distance du plan de coupe au sommet sur la hauteur du solide :
De ce fait, on en déduit que le rapport des aires entre l’aire de la section est l’aire de la base est

d. Pour une sphère  :

Représenter l’espace

Représenter un objet « sans épaisseur », sur une feuille à plat, revient à tracer son contour. Il est moins immédiat de représenter sur un plan un objet « qui a du relief » ou de façon plus générale divers personnages et des éléments dans un paysage. Dans diverses peintures de l’antiquité jusqu’au moyen âge et plus tard dans certains œuvres, on a représenté :

  • les éléments transversaux comme s’ils étaient vus de face,
  • des éléments verticaux étaient rabattus (deux rangées d’arbres bordant une route sont dessinées à plat de chaque côté de la voie),
  • les paysages en les décomposant en bandes, en bas le premier plan, en haut l’arrière plan.

Voici diverses représentations d’une boîte parallélépipédique réalisées spontanément par des personnes :

A partir du même objet, les codes mobilisés par les diverses personnes sollicitées pour en rendre compte, ont conduit des dessins différents.

C’est à la renaissance italienne que furent mis au point divers modes de représentations cherchant à donner sur un plan, l’illusion du « relief », des formes et des proportions d’une réalité de l’espace observé à tout observateur (même s’il ne connaît pas les codes). Certains de ces procédés, avaient existé dans l’antiquité, notamment au Moyen Orient mais étaient tombés dans l’oubli.

Perspective centrale : Au XV° siècle, fut mis au point un procédé pour représenter les objets en trois dimensions sur une surface plane, en tenant compte des effets de l’éloignement et de leur position dans l’espace par rapport à l’observateur. Ce premier procédé mis au point par BRUNELLESCHI au début du XV° siècle, fut diffusé par ALBERTI et amélioré LEONARD DE VINCI. Il est connu aujourd’hui sous le nom de perspective centrale et est caractérisé par un point de fuite.

Principe de la perspective centrale :
Les parallèles contenues dans le plan frontal sont parallèles sur un dessin en perspective, mais les autres parallèles sont concourantes en un point de fuite F sur la ligne d’horizon h

Perspective cavalière :
Un siècle plus tard fut mis au point un autre procédé moins « complexe » par ANDROUET DU CERCEAU (fin du XVI° siècle). Il fut dans un premier temps utilisé pour les constructions militaires pour être ensuite adopté et adapté pour des représentations techniques. Il est aujourd’hui connu sous de nom de perspective cavalière.

Principe de la perspective cavalière : :
Représentation sans point de fuite, la taille des objets ne diminue pas lorsqu’ils sont plus éloignés. Cette perspective permet des dessins plans de solides moins complexes que par la perspective centrale. La notion de profondeur est rendue par l’adoption de quatre conventions :

  • Choix d’un plan frontal : tout segment contenu dans ce plan ou dans un plan parallèle est représenté en vraie grandeur,
  • Les perpendiculaires au plan frontal, « les fuyantes », sont représentées en formant un angle par rapport « à la ligne d’écriture » : angle de fuite
  • Les longueurs représentées sur les lignes fuyantes sont multipliées par un coefficient de réduction.
  • Toutes les parallèles réelles sont aussi parallèles sur le dessin (le point de fuite est à l’infini).

La perspective cavalière, est un appauvrissement par rapport à la perspective centrale mais elle est adaptée pour des représentations « techniques » ou géométriques d’objets isolés.
Le cube ci-contre est représenté en perspective cavalière de rapport de réduction 0,5 et d’angle des fuyantes 45°.

Les dessins en perspective des divers solides qui précèdent sont en perspective cavalière.

Portfolio