PRATIQUE MATH

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Indéterminée, inconnue avec une calculette

Approche des notions d’indéterminé, d’inconnue, d’expression littérale

samedi 3 octobre 2009, par Alfred Bartolucci


Le calcul littéral paraît peu naturel à bien des élèves. L’usage du tableur permet de faire vivre aux élèves des mises en situations qui démystifient le statut déréel de la lettre dans le calcul littéral. Sur tableur le rôle de la lettre est tenu par la cellule « VIDE » en attente de valeur à saisir :

  • PREMIER CAS : Dans une cellule voisine d’une cellule où on a « rentré » une formule, on a à choisir une valeur pour que se calcule automatiquement le résultat correspondant. Ici, la cellule vide prend le sens de valeur en attente de choix, c’est-à-dire indéterminée ... Exemple : un rectangle a la mesure de sa longueur double de la largeur. Mettre en page le calcul du périmètre de ce rectangle dans le cas où on connaît la mesure de la largeur. Sur la ligne A sont portées les étiquettes, dans la cellule B2 est saisie la formule du périmètre dans les conditions de la situation donnée. La cellule B1 est en attente de toutes les valeurs qu’on veut bien choisir.
    Les élèves ici, bousculent leur conception figée de la notion de « formule » pour se confronter à formule comme expression « littérale » qui traduit les calculs à faire. Le rôle de la lettre, habituellement associée à toute formule est ici joué par la cellule vide. La cellule vide est en attente de toutes valeurs (positives puisqu’il s’agit de mesures) représente la notion d’indéterminée. Dans une formule, une lettre peut être remplacée par toute valeur …
  • DEUXIEME CAS : Dans la cellule vide voisine d’une cellule où on en « rentré » une formule, on a faire plusieurs saisies de valeurs jusqu’à ce que le résultat produit par la formule soit une valeur fixée. Ici, l’usage fait de la cellule vide permet d’illustrer le sens d’inconnue Exemple : un rectangle a pour mesure de sa longueur 5 mètres de plus que le double de la mesure de la largeur. Mettre en page le calcul du périmètre de ce rectangle dans le cas où on connaît la mesure de la largeur et déterminer pour quelle mesure de la largeur le périmètre est égal à 11,2 m. Sur la ligne A sont portées les étiquettes, dans la cellule B2 est saisie la formule du périmètre dans les conditions de la situation donnée, dans la cellule B3 est saisie la valeur du périmètre souhaitée. B1 étant la cellule où l’on va saisir diverses propositions de valeurs jusqu’à ce que le résultat affiché en B2 soit égal à la valeur affichée en

Les élèves ici, sont face à une énigme « existe-t-il une valeur pour la largeur, dans les conditions de l’énoncé, telle que le périmètre soit 11,2 ? ». Dans la cellule B1, ils peuvent porter diverses valeurs et par essais successifs déterminer la valeur de la largeur (dans le ca ou elle existe) pour la quelle le périmètre du rectangle mesure 11,2 m. Leur encontre avec la notion d’équation favorise bien une conception liée à du « suputatif ». La cellule vide, ici, permet aux élèves de se confronter à la notion d’inconnue.

L’activité qui suit permet de travailler sur les mêmes intentions d’apprentissage chez les élèves qu’un travail avec tableur. Elle nécessite une calculette. Elle ne doit pas se substituer à des activités avec tableur mais les complète.

Equation et expression littérale avec une calculette

Les activités qui suivent peuvent être scénarisées en collectif ce qui permet aux élèves de jouer divers rôles :

  • ceux qui manipulent
  • ceux qui font des propositions
  • ceux qui contrôlent les propositions faites.
    Elles peuvent faire l’objet d’un travail en sous groupes. Chaque sous groupe ayant à faire une communication au grand groupe sur les enseignements tirés.

Matériel nécessaire

• Une calculette simple • Des cartons avec des commandes de calcul par exemple :

• Une enveloppe opaque, du papier, un stylo • Des étiquettes autocollantes pour dissimuler l’affichage de la calculette.

Scénario de base Au début de chaque scénario l’enseignant demande à un élève de

  • choisir « en secret » un nombre,
  • l’inscrire sur un papier qu’il glisse dans une enveloppe qu’il garde
  • saisir ce nombre sur la calculatrice
  • dissimuler l’affichage en collant une étiquette (voir photo ci-dessus).
  • l’élève après avoir saisi son nombre secret et l’avoir dissimulé, il passe à un autre élève la calculette avec un carton de « commande de calcul » qu’il a choisi parmi ceux proposés. Le carton de « commande de calcul » est affiché au regard de tous :
  • Ce deuxième élève, après avoir saisi la suite de touches du carton de « commande de calcul », choisit à son tour un carton de commande et passe la calculette et le nouveau carton de « commande de calcul » à un troisième élève. Le nouveau carton de commande est affiché au regard de tous en deuxième position.
  • Ce troisième élève, après avoir saisi la suite de touches du carton de « commande de calcul » et passe la calculette à un quatrième élève qui enlève l’étiquette et annonce l’affichage final à la classe.

Premier type d’activité :
L’objectif, alors qu’on connait la suite des commandes et le résultat final, est de déterminer le nombre de départ

Deuxième type d’activité :
L’objectif est d’écrire une expression dans laquelle le nombre inconnu de départ serait représenté par • ou par n ou par a ou par x. Cette expression remplacerait la suite de toutes les saisies sur la calculatrice faites par les différents élèves :

Troisième type d’activité :
L’objectif est de trouver un enchaînement plus court qu’un enchaînement de calculs donnés mais qui donnerait le même résultat quel que soit le nombre inconnu du départ.

Quatrième type d’activité :
L’objectif est de déterminer parmi plusieurs enchainements donnés ceux qui conduisent au même résultat.

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