PRATIQUE MATH

Accueil du site > APPROCHE PAR COMPETENCE ET SOCLE COMMUN > QUELS REPERES DE SAVOIRS MATHEMATIQUES POUR LES ELEVES EN FIN DE SCOLARITE (...) > Domaine du calcul littéral : formule - traitement de formule - calculs par (...) > EN FONCTION DE ... CA DEPEND DE ...

EN FONCTION DE ... CA DEPEND DE ...

Fonctions numériques un domaine pour modéliser des situations où ça varie, nuage de points, tableau de valeurs, expression qui parlent ...

mercredi 1er janvier 2014, par Alfred Bartolucci


Pour un commentaire ou une suggestion !

Creative Commons License
PRATIQUE MATH by Alfred BARTOLUCCI est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité-Pas d’Utilisation Commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France.
Les autorisations au-delà du champ de cette licence peuvent être obtenues à a.bartolucci@pratiquemath.org.

En fonction du temps qu’il fera, en fonction de l’âge, fonction de nutrition, fonctions du téléphone portable, ... : Le mot fonction est un mot du langage courant. Dans les diverses situations où on l’emploi a-t-il le même sens ? Quels liens peut-on faire entre ces divers usages du mot fonction ? Ces usages du mot fonction dans la vie quotidienne ont-ils quelque chose à avoir avec le sens du mot fonction notion utilisée en mathématiques ?

La fonction du cœur est-elle de battre ou d’assurer la circulation sanguine ?

Nous présentons divers usages du mot fonction hors des mathématiques.

  • Fonction comme processus vital : la fonction de nutrition chez un organisme vivant. La fonction comme processus vital désigne, pour un système, « une catégorie d’opérations », contribuant à son existence, à son maintien. Chaque opération de la fonction est exécutée par un sous-système dédié à cet effet et contribuant à l’équilibre global du système. Par exemple la fonction de nutrition, essentielle à la survie de tout organisme vivant, se compose des opérations d’alimentation, de digestion, de respiration, de circulation, d’excrétion. Ces opérations assurent, grâce à divers organes, l’approvisionnement en matière et en énergie de l’organisme vivant ainsi que son entretien et son renouvellement.
  • Fonction comme « rôle » ou « mission » : la fonction du « contre écrou » dans un système de fixation / la fonction d’un appareil ménager / la fonction du médiateur dans un service clientèle / la fonction du verbe dans une phrase : La fonction désigne dans une structure technique (montage), sociale ou linguistique l’utilité d’un élément la constituant. Cet élément peut être un objet dans un dispositif technique, une attribution dans une organisation sociale, un signifiant dans un système symbolique.
  • Fonction comme mise en cohérence dans la gestion de facteurs causaux pour l’atteinte d’un but : fonction de production d’une entreprise. Pour une entreprise, la fonction de production assure la combinaison entre plusieurs facteurs (main-d’œuvre, équipements, matières premières, capitaux et pilotage, …) pour une valeur ajoutée maximale.
  • Fonctions comme propriété chimique d’un corps : en chimie organique on a classé les corps en fonction de leurs propriétés liées à leur réactivité qui est elle-même dépendante de la structure moléculaire du corps considéré. Un assemblage particulier d’atomes confère une réactivité propre à chaque molécule : de là, des familles de corps de même réactivité ont la même fonction.
  • Fonction comme commande d’un système : la touche % sur une calculette, la commande de compression de fichier dans un logiciel de traitement d’image. Sur un tableur les commandes standard sont classées en différentes familles de fonctions (Statistiques, Math & Trigonométriques, Scientifiques, Finances, Date & Heure, Base de données. Ici, la fonction désigne une instruction particulière, à laquelle on fait appel dans un traitement planifié ou algorithmique.
  • Fonction comme commande de traitement approximatif. Pour traiter une famille de problèmes on cherche, quand c’est possible, à construire une suite d’instructions pour un traitement systématique. Dans ce cas on dispose d’un algorithme de traitement. Mais traiter des situations complexes par un algorithme systématique est difficile. Le nombre de ramifications pour traiter tous les cas d’une situation complexe peut être tellement important que la conception d’un tel algorithme est ingérable. Aussi, dans de tels cas on sacrifie à la précision en se limitant à des phases plus approximatives : on se limite alors à garantir statistiquement des « solutions » acceptables. Ces modes de traitement sont appelés algorithmes heuristiques : à chaque nœud de l’algorithme heuristique la validité d’un chemin à prendre est estimée par un groupe d’instructions particulières appelées fonctions heuristiques. Les algorithmes heuristiques, même s’ils ne conduisent pas à la meilleure solution, apportent une aide indispensable à la prise de décision en faisant gagner un temps considérable.

Ces diverses situations où intervient le mot fonction peuvent enrichir la compréhension de la notion de fonction telle qu’elle est présentée en mathématique.
Dans les illustrations précédentes, le mot fonction est utilisé pour désigner :

  • un rôle exercé dans un système pour atteindre un but ou viser une fin,
  • un ensemble d’opérations agissant sur des données et orientées vers un résultat,
  • des caractéristiques d’un élément induisant des effets de cet élément sur d’autres.

En résumé, dans les exemples donnés, la notion de fonction se caractérise comme un « machin », une « boîte noire » qui, dans une situation donnée, agit dans un contexte donné pour des effets spécifiques.
En mathématiques ce qu’on appelle fonction numérique est très proche de ce exprimé en résumé.
Pour une fonction numérique donnée, la boîte noire, prend souvent la forme d’une expression algébrique. Cette expression, pour toute valeur substituée dans l’expression, permet de calculer, quand c’est possible, la valeur unique image de la valeur substituée.

Portée de l’outil fonction pour modéliser des situations en vue de les traiter.

Dans une variété de situations impliquant deux grandeurs variables, il existe une relation de causalité entre « la valeur prise par une grandeur » et « la valeur prise l’autre grandeur ». Le choix d’une valeur pour une grandeur détermine la valeur de l’autre. La notion fonction numérique permet de modéliser en mathématiques diverses situations (vie courante, sciences, économie, … géométrie), de les traiter dans le modèle mathématique pour interpréter enfin les solutions trouvées dans les situations d’origine.

Une illustration : distance d’arrêt d’un véhicule

La distance d’arrêt d’un véhicule dépend de sa vitesse, du temps que met le conducteur pour réagir, de la l’état de la route mais aussi de l’état du véhicule. Chercher à modéliser la situation distance d’arrêt d’un véhicule pour étudier comment évolue la distance d’arrêt en fonction de la vitesse est très utile pour établir des consignes de prudences utiles pour tout conducteur. La modélisation qui suit ne prend en compte que les paramètres les plus importants : en ce sens elle fournit des informations fiables mais non exactes. D’une façon générale, une modélisation, approche une réalité mais n’est pas à confondre avec celle-ci.

1. Traduire la situation en formule


On donne la formule :
Distance d’arrêt = Distance de réaction + Distance de freinage.
{D}_{A}={D}_{R}+{D}_{F}

  • Le temps de réaction {t}_{R} , est généralement de 1 seconde. Il dépend du niveau d’attention du conducteur, de son état physique et des conditions de circulation.
  • Comme la vitesse V est exprimée en km/h on l’exprime en m/s :
    GIF - 1.1 ko

avant de calculer la distance de réaction.
Avec un temps de réaction {t}_{R} exprimé en secondes, la distance de réaction {D}_{R} exprimée en mètres est calculée par la formule :

GIF - 1.1 ko

pour 1 seconde

GIF - 1 ko

On obtient la distance de réaction en multipliant la vitesse par 1/3,6 : on en déduit que la distance de réaction est proportionnelle à la vitesse.

  • La distance de freinage {D}_{F}, est la distance en mètres parcourue après avoir actionné les freins, jusqu’à l’arrêt complet du véhicule. Elle varie en fonction de la vitesse V en km/h et de l’état de la chaussée (sèche ou mouillée), de l’état des pneus…. On calcule la distance de freinage {D}_{F} par la formule où k est le coefficient d’adhérence compris entre 0 et 1 :
    GIF - 1.5 ko

Ainsi la distance d’arrêt est calculée par la formule :

GIF - 1.1 ko

avec k=0,8 sur route sèche et k=0,4 sur route mouillée
La distance de freinage et la distance d’arrêt ne sont pas proportionnelles à la vitesse mais, comme chacune est fonction du carré de la vitesse, elles augmentent très vite quand la vitesse augmente.

2. Traduire la situation en tableau

Pour apprécier l’évolution d’une valeur par rapport à une autre on peut réaliser un tableau de valeur Les formules qui précèdent permettent de calculer pour une vitesse donnée la distance de réaction, celle de freinage ou celle d’arrêt. A partir de chaque formule on peut mettre en forme pour divers valeurs de la vitesse un tableau donnant les valeurs correspondantes des distances.

  • Comment évolue la distance de réaction en fonction de la vitesse ? La lecture d’un tableau de valeurs donne des indications pour peu qu’on ait choisies des valeurs de vitesse assez bien réparties sur l’intervalle de travail. Dans le tableau ci-après on a choisi pour valeurs de la vitesse les valeurs légales de limitation, cela permet des interprétations de la lecture du tableau en lien avec les règles de sécurité routière.
Vitesse en km/h 0 30 50 60 90 110 130
distance de réaction en m (arrondie à 0,01 près) 0 8,33 13,89 16,67 25 30,56 36,11

Remarques : Dans le tableau on repère que pour 60 km/h la distance de freinage est double de celle pour 30 km/h. Pour 90 km/h elle est triple. La lecture du tableau donne une idée du type d’évolution de la distance de freinage en fonction de la vitesse : les indices lus dans le tableau donnent à penser que la distance de réaction est proportionnelle à la vitesse. Ce qui est confirmé o Comment évolue la distance d’arrêt en fonction de la vitesse ? Comme plus haut, le tableau établi pour les mêmes valeurs de la vitesse, donne des indications sur l’évolution quand la vitesse varie de la distance d’arrêt.

Vitesse en km/h 0 30 50 60 90 110 130
distance d’arrêt en m (arrondie à 0,01 près) 0 12,73 26,2 34,42 64,86 90,15 119,27

Dans ce tableau on peut lire :

  • pour 60 km/h la distance de freinage est largement supérieure au double de celle pour 30 km/h.
  • De plus pour 90 km/h (triple de 30) elle est presque cinq fois plus grande que celle pour 30. Sur ces indices on a la confirmation que la distance d’arrêt n’est pas proportionnelle à la vitesse et il semble que l’augmentation de la distance s’accélère quand la vitesse augmente.

3. Traduire la situation en nuage de points (graphique)

Pour rendre compte visuellement de l’allure de l’évolution on peut représenter les couples de nombres du tableau de valeurs dans un plan repéré.

  • Pour toute vitesse de comprise 0 à 130 km/h (et même au-delà) on pourrait calculer la distance de réaction ou d’arrêt. Mais dans un tableau de valeurs on ne peut pas faire apparaître toutes les valeurs prises par la variable. En donnant une traduction du tableau de valeurs par des points dans le plan repéré, la disposition des points peut suggérer, si on prend quelques précautions, une ligne dont l’allure informe sur le type d’évolution du phénomène.
  • Par exemple pour la distance de réaction, on associe à tout couple de nombres (x ; y) du tableau de valeurs, où x est une valeur de la vitesse et y la valeur de la distance de réaction correspondante, un point du plan repéré. La représentation de plusieurs points à partir du tableau de valeurs donne un « nuage de points ». C’est ce qu’on appelle la représentation graphique du tableau de valeurs.

Les deux représentations graphiques font apparaître que les points de chaque nuage semblent répondre à une certaine régularité. Mais les allures de l’évolution des distances de réaction et d’arrêt sont différentes.

  • Pour la distance de réaction, il semble que les points représentés soient alignés : ce qui est conforme avec le fait que la distance de réaction est proportionnelle à la vitesse.
  • Pour la distance d’arrêt les points semblent être disposés sur une ligne courbe comparable au dessin du bord droit d’un « bol » : quand la vitesse augmente le bord du bol se redresse. On a là un renforcement de l’hypothèse que quand la vitesse augmente, l’augmentation de la distance d’arrêt s’accélère
    Sur les deux graphiques on peut remarquer que les valeurs des distances portées en ordonnées sont majorées dans un cas par 40 m et dans l’autre par 120 m alors que les deux graphiques ont globalement la même taille. Aussi, pour mieux comparer les deux évolutions on gagne à les représenter sur le même plan repéré.
    D’autre part, on peut décider de relier par une ligne les points du graphique correspondants à deux valeurs de vitesses consécutives. Le but est de visualiser mieux l’allure de l’évolution étudiée. Mais cela appelle deux observations très importantes :
  • 1. Le fait de joindre deux points consécutifs du graphique suppose que chaque valeur, comprise entre les deux valeurs de vitesse définissant les deux points, est bien une valeur de vitesse. De plus, dans ce cas, on fait l’hypothèse que cette valeur se situe dans la même « régularité » que les autres valeurs représentées …
  • 2. Pour le cas particulier de la distance d’arrêt, les points de la représentation graphique ne sont pas alignés. Dans ce type de situation, relier deux points consécutifs, par un segment serait contradictoire avec ce qui est observé. Aussi, dans de telles situations il convient de relier à main levée les divers points en respectant la courbure suggérée par les points déjà placés. Dans de telles situations, le nombre de points déjà placés doit être suffisant pour disposer de repères fiables pour réaliser le tracé en continu..

Etude de l’évolution d’une valeur en fonction d’une autre valeur variable.

Dans la situation précédente, on a traduit chaque cas par une expression algébrique (une formule), par un tableau de valeurs et par la représentation graphique dans un plan repéré des valeurs du tableau. Ces traductions ont pour but de rendre compte, avec plus ou moins de précision, de la relation existant entre :

  • Pour le premier cas, les valeurs prises par la vitesse et les valeurs conséquences de la distance de réaction : La valeur numérique de la vitesse à laquelle on roule fait varier la valeur numérique de la distance de réaction en mètres.

  • Pour le deuxième cas, les valeurs prises par la vitesse et les valeurs de la distance d’arrêt : La valeur numérique de la vitesse à laquelle on roule fait varier la valeur numérique de la distance d’arrêt en mètres.

L’expression algébrique de la distance en fonction de la vitesse, le tableau de valeurs et la représentation graphique sont des modélisations dont le but est de rendre compte sous diverses formes « comment la vitesse fait varier la distance », En mathématiques ces outils « expression algébrique », « tableau de valeurs » et « représentation graphique dans un plan repéré » sont des outils de modélisation reconnus. Leur domaine d’utilisation est celui des fonctions numériques. Ce domaine a eu un développement important dans les mathématiques et il est mobilisé chaque fois qu’un phénomène pas forcément mathématique gagne, pour être étudié, à être traduit par une fonction numérique. Une fonction numérique s’explicite par :

  • une expression algébrique qui décrit le processus de mise en correspondance d’une catégorie de valeurs numériques vers une autre catégorie de valeurs numériques,
  • un tableau de valeurs qui, devrait par le choix des valeurs qui y figurent, fournir des indices sur le type de fonction dont il s’agit et sur l’allure de l’évolution des valeurs calculées..
  • une représentation graphique de points dans un plan repéré à partir des valeurs du tableau de valeurs
    La notion de fonction numérique s’articule autour de plusieurs notions mathématiques. Le réseau ci-après sans toutes les représenter rend compte d’articulations possibles :

Sur le schéma les mots soulignés signalent les notions directement engagées dans la définition de la notion fonction numérique. Etre en mesure de commenter ce réseau est une preuve d’une bonne compréhension de ce qu’est une fonction numérique.

Des notations conventionnelles :

Retour à l’exemple relatif aux distances de réaction et distances d’arrêt en fonction de la vitesse.

  • Pour étudier la variation de la distance de réaction en fonction de la vitesse on peut définir la fonction notée {D}_{R} de [0 ; 130] vers [0 ; 40[ définie par
    GIF - 1 ko

On écrit

GIF - 1 ko

. La notation {D}_{R}(V) signifie [valeur de la distance de réaction, image de la valeur V de la vitesse]. {D}_{R}(V) représente l’expression permettant de calculer la distance de réaction en fonction de la vitesse. Pour une valeur particulière de V par exemple 90, comme

GIF - 1 ko

et

GIF - 1 ko

, {D}_{R}(90) représente un nombre, ici 25. On dit que 90 a pour image 25 par la fonction {D}_{R} ou encore que l’antécédent de 25 par la fonction {D}_{R} est 90.

  • Pour étudier la variation de la distance d’arrêt en fonction de la vitesse on peut définir la fonction notée {D}_{A} de [0 ; 130] vers [0 ; 120[ définie par
    GIF - 1.2 ko

On écrit . La notation {D}_{A}(V) signifie [valeur de la distance d’arrêt, image de la valeur V de la vitesse]. {D}_{A}(V) représente l’expression permettant de calculer la distance d’arrêt en fonction de la vitesse et

GIF - 1.2 ko

donne la distance d’arrêt pour une vitesse de 90 km/h :

A noter que le résultat de la distance d’arrêt exacte est . La distance d’arrêt étant calculée en mètres, cela n’aurait pas de sens de donner le résultat avec une précision supérieure au cm près, aussi on en donne l’arrondi à 0,01 près :

L’outil fonction permet d’étudier comment [la valeur numérique de la vitesse à laquelle on roule fait varier la valeur numérique de la distance d’arrêt en mètres] :

Des repères pour modéliser une situation.

Toute situation dans laquelle un processus fait correspondre deux grandeurs numériques peut se modéliser en utilisant le formalisme de l’outil fonction.
Pour cela on doit repérer dans la situation :

  • le procédé de calcul de mise en correspondance (une expression algébrique),
  • l’ensemble des valeurs sur lesquelles agit ce procédé (chaque valeur ayant au plus une image par le procédé). C’est l’ensemble de départ.
  • l’ensemble de valeurs but : chacune étant susceptible d’être l’image d’une valeur de l’ensemble de départ sans que toutes ne le soient forcément. C’est l’ensemble d’arrivée.
    Si une valeur de l’ensemble d’arrivée est l’image d’une valeur de l’ensemble de départ alors on dit que cette valeur de l’ensemble d’arrivée admet un antécédent par la fonction.
    On note généralement par la fonction qui à une valeur variable x fait correspondre le nombre f(x).
    La notation f(x) représente une expression algébrique, telle qu’en substituant dans cette expression une valeur donnée pour la variable x de l’ensemble de départ, on obtient par calcul, quand c’est possible, une valeur unique de l’ensemble d’arrivée.
    Si a est un nombre choisi, la notation f(a) désigne un nombre : le nombre image de a par la fonction f si le calcul de cette image par la fonction f est possible.

Exemples pour mieux comprendre divers aspects liés aux fonctions numériques

Sur le coté [AB] d’un carré de côté 6 cm on choisit un point M tel que : AM = x
x étant un entier tel que
On souhaite connaître comment évolue l’aire du trapèze AMCD
On peut définir la fonction g qui à tout entier x pris de 0 à 6, fait correspondre l’aire A du trapèze AMCD. Cette aire est un décimal positif. Le processus de calcul qui permet de calculer l’aire du trapèze en fonction de la variable x est défini par la différence de l’aire du carré de côté 6 et de l’aire du triangle MBC rectangle en B dont un coté de l’angle droit mesure 6 et l’autre, dépend de la variable x, il mesure (6 – x). Cela donne

Le tableau des valeurs laisse apparaître que pour un écart

  • de 1 sur deux mesures de AM, l’écart pour sur les deux aires correspondantes est de 3
  • de 2 sur deux mesures de AM, l’écart pour sur les deux aires correspondantes est de 3x2, 6

Ainsi de suite : il y a proportionnalité des écarts. Toute fonction pour laquelle le processus de correspondance respecte la proportionnalité des écarts est, en mathématiques, appelée fonction affine.
Les points de la représentation graphique semblent alignés. On montre que cela est la cas pour toutes les fonctions affines : leur représentation graphique détermine une droite. Ici comme la fonction g est définie par , l’image de 0 est 18. De ce fait la droite définie par les points de la représentation graphique de la fonction coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 18). Mais comme, seules les valeurs entières positives inférieures ou égales à 6 ont une image, on ne joint pas deux points consécutifs et bien sur on ne trace pas la droite déterminée par ces points.

ABCD est un rectangle. AB = 8 cm et AD = 5 cm
Sur les cotés [AB] et [AD] du rectangle, on choisit un point M sur le coté [AB] du rectangle et un point N coté [AD] tel que : AM = AN = x
On souhaite connaître comment évolue l’aire du polygone MBCDNE.

L’aire cherchée est égale à la différence de l’aire du rectangle (8x5 = 40) et du carré de côté x .Comme N est sur [AN] et que AN = 5 donc x est un nombre positif au plus égal à 5. De là, on définit la fonction h qui à tout nombre positif x au plus égal à 5, fait correspondre l’aire A du polygone MBCDNE. Cette aire est un nombre positif. Le processus qui permet de calculer l’aire est :

Le tableau des valeurs n’est pas un tableau de proportionnalité. De plus il n’y a pas proportionnalité des écarts entre deux valeurs de la variable et leurs images.
Les valeurs du tableau de valeurs permettent de représenter dans le plan repéré un nuage de points donnant l’allure de la représentation graphique de la fonction. Ici, du fait que l’on peut choisir toutes les valeurs de la variables de 0 à 5 et que le processus de calcul qui définit la fonction h de 0 à 5 est sans irrégularité sur cet intervalle, on peut joindre par une ligne les points représentés. Mais il convient dessiner cette ligne à main levée pour suivre la courbure suggérée par les points placés.

On s’intéresse à l’évolution de la mesure du côté d’un rectangle quand la mesure de l’autre côté varie et que l’aire du rectangle reste égale à 10 cm². On peut donner quelques exemples de tels rectangles. Le tableau indique pour quelques mesures du côté 1, quelle est la mesure du côté 2 afin que l’aire du rectangle soit de 10 cm².

Si on note x le côté 1 et y le côté 2, on a la relation à condition que x ne soit pas égal à zéro, De là, on peut définir une fonction h qui à qui à toute mesure du premier côté x, x étant un nombre strictement supérieur à zéro, fait correspondre la mesure du deuxième côté y. La fonction h est donc définie par

La représentation graphique à partir des valeurs du tableau donne pour allure :
Quand la mesure du côté 1 est inférieure à 1 et devient de plus en plus petite jusqu’à être très proche de zéro, la mesure du deuxième côté devient de plus en plus grande jusqu’à être très grande.
Quand la mesure du côté 1 est supérieure à 1 et devient de plus en plus grande, la mesure du côté 2 devient de plus en plus petite jusqu’à être très voisine de zéro.
A noter que l’on a représenté la fonction en se limitant aux valeurs strictement positives de x. Voyons ce que cela donne si on décide de représenter la fonction pour les valeurs de x pour lesquelles le calcul est possible : aussi bien pour les nombres strictement positifs que pour les nombres strictement négatifs. Le tableau de valeur qui suit donne des exemples. La représentation de ces valeurs dans un plan repéré donne le nuage de points suivant Fig 1 Toutes les valeurs sauf zéro ont une image. Pour donner l’allure de l’évolution on pourrait tracer à main levée une ligne continue qui joint les points consécutifs en faisant en sorte que cette ligne soit interrompue au point d’abscisse 0, valeur qui n’a pas d’image par la fonction h Fig 2. Mais cette représentation graphique est fausse : les points entre (-4 ; -2,5) et (0 ; 0) comme ceux entre (0 ; 0) et (4 ; 2,5) représentés par une ligne continue ne sont pas des points de la représentation graphique de la fonction.
En réalité quand x est devient de plus en plus proche de zéro qu’il soit positif ou négatif, l’ordonnée du point de la représentation graphique qui lui correspond est de plus en plus éloignée de zéro. La représentation graphique est en deux parties et au voisinage de zéro, les points de ces deux parties deviennent de plus en plus distants Fig 3.
Ici, la fonction, définie pour tout nombre autre que zéro par ne traduit plus l’évolution des mesures des deux côtés d’un rectangle d’aire 10 : les mesures des côtés ne peuvent pas être négatives. Mais elle modélise la situation : deux nombres x et y ont leur produit égal à 10, quand la valeur de x varie comment varie la valeur de y ? »

[AB] est un segment de 10 cm. M est un point du segment [AB]. Tel que AM = x
Du même côté de (AB) on trace deux carrés :

  • AMM’A’ de côté AM
  • BMNB’ de côté BN
    On souhaite connaître comment évolue l’aire du polygone AA’M’NB’B.

L’aire cherchée est égale à la somme de l’aire du carré AA’M’M de côté x et de l’aire du carré MNB’B de côté 10 – x .Comme M est sur [AB] et que AB = 5 donc x est un nombre tel que On peut de ce fait définir la fonction f qui à tout nombre x fait correspondre l’aire A du polygone AA’M’NB’B. Cette aire est un nombre positif. Le processus qui permet de calculer l’aire est : On développe le carré de la différence cela donne : d’où La fonction f est donc définie par

Dans le tableau des valeurs on lit que pour x variant avec un pas de 0,5, l’aire des totale progressivement décroît de 100 cm² jusqu’à 50 cm² et ensuite croît progressivement à nouveau jusqu’à 100 cm². Les valeurs du tableau de valeurs permettent de représenter dans le plan repéré un nuage de points donnant l’allure de la représentation graphique de la fonction f. Ici, du fait que l’on peut choisir toutes les valeurs de la variables de 0 à 10 et que le processus de calcul qui définit la fonction f est sans irrégularité sur l’intervalle [0 ; 10], on peut joindre par une ligne les points représentés à partir du tableau des valeurs. Mais il convient tracer cette ligne à main levée pour suivre la courbure suggérée par les points placés.

Portfolio