PRATIQUE MATH

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APPRENDRE : Situation de recherche / modélisation

Jeu de cartes pour approcher la résolution d’un système de 2 équations à deux inconnues

dimanche 9 mai 2010, par Alfred Bartolucci


Présentation de « l’activité-jeu »


Le jeu est composé de 11 paquets 16 cartes. Chaque carte comportes au recto un dessin, le verso étant neutre. Pour chaque paquet de 16 cartes :

  • Sur 8 cartes le dessin est celui d’un rectangle
  • Sur 8 cartes le dessin est celui d’un triangle.

Principe de « l’activité-jeu »

Les élèves de la classe sont répartis en sous groupes de 3 ou 4 élèves. Dans un premier temps, chaque sous groupe a à faire un choix qui constituera le défi posé à un autre groupe de la classe, dans un deuxième temps chaque sous groupe aura à relever le qui lui est proposé. La mise en commun et le débat sur les démarches exploitées par les divers sous groupes doit permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité des approches possibles. Sans formalisme à priori, les élèves sont conduits, à leur mesure, à des tentatives de modélisation de situations qui peuvent se ramener à la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues.

Déroulement de « l’activité-jeu »

  • 1ier temps : Mise en place de l’activité
    Chaque sous groupe tire de 6 à 9 cartes du jeu, au choix. Il calcule alors le nombre total de cotés de toutes les figures des cartes tirées. Enfin, le groupe place les cartes dans une enveloppe et la cachète. Sur l’enveloppe il inscrit le nombre de cartes et le nombre total de côtés comptés.
  • 2ième temps : Attribution d’une enveloppe et consigne
    Chaque sous groupe passe son enveloppe au groupe voisin (Le groupe A passe à B, B passe à C, C passe à D, D, passe à E, ….., J passe à A) L’activité consiste pour chaque sous groupe, à partir du nombre de cartes de l’enveloppe et du nombre total des côtés, à déterminer le nombre de cartes comportant un carré et le nombre de cartes comportant un triangle.
  • 3ième temps : Recherche proprement dite.
    Aucune démarche n’est imposée. Tout est possible à condition de pouvoir l’expliciter et le justifier.
    • recherche seul
    • recherche en groupe
    • arrêt du travail en sous groupe pour partager les difficultés ou les avancées de chaque sous-groupe. Ici, régulation des sous groupes qui présentent des propositions non justifiées (distinction entre conjecture et affirmation sûre, entre conviction et certitude).
    • poursuite de recherche en groupes
    • préparation de la communication inter groupes.
  • 4ième temps : Communication, débat.
    Mise en commun et confrontation des propositions, stabilisation de démarches de solutions possibles

Dimension ludique de « l’activité-jeu » :


Le but de chaque sous groupe est de :

  • Choisir, dans la situation donnée, le nombre de cartes rectangles et celui de cartes triangles qui donne un nombre total de côtés pour lequel il n’est pas aisé de déterminer quel est le nombre de cartes de chaque type afin que le groupe à qui on le destine ait du fil à retordre.
  • Déjouer les obstacles cachés dans la situation proposée par le sous groupe voisin.
    La situation sans être familière est vécue comme concrète par tous les élèves. Ils se l’approprient aisément et de façons très diverses.

    « Activité-jeu » et apprentissages


    La mise en scène de la situation pousse à une bonne implication de chacun. Les élèves dans chaque sous groupe sont portés « spontanément » à faire des essais, à conjecturer, à repérer des cas particuliers, des régularités, à modéliser, à formaliser.

Exemples de choix de cartes

  • Voici un choix de cartes : Ce qui est communiqué au groupe chercheur :
    • Nombre de cartes : 8
    • Nombre total de côtés : 29
      Mais 29 fait rapidement penser à 25 + 9 soit (5x4) + (3x3) et on a la réponse 5 cartes « rectangles » et 3 cartes triangles.
  • Voici un autre choix de cartes : Ce qui est communiqué au groupe chercheur :
    • Nombre de cartes : 8
    • Nombre total de côtés : 27
      Ici, une solution apparente est moins évidente à intuiter spontanément. Ainsi, dans la première phase de jeu, chaque sous groupe cherchera à mettre à l’épreuve le choix des cartes qu’il fait avant de le proposer à la recherche par un autre groupe. En effet, il s’agit d’opérer un choix suffisamment astucieux pour placer le groupe qui aura à le chercheur dans l’embarras. Cependant, au moins lors des premiers essais, les élèves ne disposent pas des clés qui leur permettraient de faire un « bon choix ». C’est après plusieurs parties de jeu que ces clés seront induites d’expériences successives.

Remarques et conseils

Les démarches à mobilisées par chaque groupe chercheur peuvent être diverses voire même inattendues. Il convient de n’en brider aucune. Cependant si des groupes s’enferment dans un fonctionnement par choix intuitifs répétés non testés il convient de les en dissuader en imposant aux trois membres du groupe de devoir absolument chacun être d’accord avec la justification de la proposition de « solution » avant de déclarer « qu’on a trouvé » Fonctionnement par choix intuitifs répétés non testés « on a trouvé c’est … » Dites pourquoi ! « Euh ! … non ce n’est pas ça » …. Quelque instant après a nouveau : « on a trouvé c’est … » Dites pourquoi ! « Euh ! … non ce n’est pas ça » …. Quelque instant après a nouveau …. De même on stimulera les groupes qui :

  • Procèdent par essais de choix intuitifs d’un nombre de cartes rectangles : détermination du nombre des autres cartes et vérification. Les choix suivant sont de plus en plus guidés par les observations tirées des cas précédents jusqu’à la solution.
  • Procèdent de façon méthodique : Tableau qui décline de façon exhaustive tous les cas : quand le nombre de rectangle augmente, celui des triangles diminue, le total des cartes reste constant.
  • S’engagent dans des raisonnements du type : Si toutes les cartes étaient des triangles (ou des carrés) on aurait …. côtés mais on a … côtés …
  • Cherchent à formaliser la situation avec des schémas, en faisant appel à des écritures avec des lettres « initiales » représentant les nombres cherchés

    Fiche de cartes à photocopier en agrandissant à 140%

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