PRATIQUE MATH

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Qu’est-ce que l’infini ?

L’infini ne peut guère conduire qu’à zéro et réciproquement. Pierre Dac

mardi 29 mars 2011, par Alfred Bartolucci


Pour le philosophe Emmanuel Levinas, « l’infini désigne la propriété de certains contenus offerts à la pensée de s’étendre au delà de toute limite ».

Infini dans l’usage quotidien : qui est sans limite ou qui est très grand, considérable. L’univers, l’océan, le désert … sont dits infinis. En mathématiques le sens du mot infini est différent de celui qu’on lui donne habituellement et heurte nos opinions.

Point de fuite et ligne d’horizon

Le bac à sable Si je décide de compter le nombre de grains de sable d’un bac à sable … il est nécessaire que je dispose de temps et de patience. Mais je peux arriver à compter jusqu’au dernier grain. Le nombre sera très grand, certes mais on peut compter jusqu’à lui. Il y a un nombre fini de grains de sable dans un bac à sable.

Le Sahara Pensez vous qu’il soit possible de déterminer le nombre de grains de sable du Sahara ? Aussi surprenant que cela puisse paraître la réponse est OUI ! Bien sûr, ici on ne va pas les compter mais calculer leur nombre. Pour cela, je calcule d’une part la grosseur moyenne d’un grain de sable et d’autre part « le volume approximatif du Sahara » (aire x hauteur). Il ne me reste plus qu’à diviser le volume du Sahara par le volume d’un grain moyen de sable. Tous cela pour convaincre que même si le nombre de grains de sable du Sahara est très, très grand … il n’est pas infini, il est fini !

Compter de 1 à l’infini Quand l’enfant apprend à compter il commence par 1 ; 2 ; 4 ; 4 ; … 100 ; … 1000 ; … 1 000 000 ; … Quand on a prononcé le dernier nombre il y a toujours un suivant. Je peux dire n’importe quel nombre mais je ne peux pas les dire tous ! C’est ce que nous affirmons quand nous déclarons « il y a une infinité de nombres ».

La division par zéro et l’infini. En mathématiques on affirme qu’on ne peut pas diviser par zéro. La calculatrice, si on tente de le faire affiche un message d’erreur. Tentons de diviser un entier 1 par exemple par un nombre de plus en plus petit.

Nombre10,10,010,0010,00010,00001
1 / nombre110100100010000100000

En mathématiques, quand on divise successivement un nombre donné par un nombre qui se rapproche de plus en plus de zéro (qui tend vers zéro) le résultat [absolu] devient de plus en plus grand, il tend vers l’infini !

Cantor (1845 – 1918) La portée des travaux du mathématicien Cantor (1845 – 1918), notamment sur les nombres et l’infini est considérable. Ses travaux ont bouleversé les mathématiques modernes. Cantor a en particulier montré qu’il existe plusieurs infinis dont :

  • Un infini dénombrable : suite infinie mais que l’on peut dénombrer ! (l’ensemble des entiers est dénombrables …).
  • Un infini non dénombrable : suite infinie qu’on ne peut pas dénombrer (l’ensemble de tous les nombres que l’on apprend au collège comprenant les entiers, les décimaux, les fractions, les racines carrées, … est non dénombrable).

Les paradoxes de la « taille » infini Nous admettons qu’il y a un nombre infini de nombres entiers. A chacun on fait correspondre son double :

Nombre123456789101112131415
Double14681012141618202224262830

Cette mise en correspondance terme à terme nous porte naturellement à affirmer qu’il y a autant de nombres entiers que de doubles d’entiers … Mais on constate que dans la liste des doubles d’entiers il y a plein de nombres qui ne font pas partie de la liste des entiers … les nombres impairs. Cela nous porte à affirmer qu’il y a moins de doubles d’entiers que d’entiers …, la moitié moins ... Il y a la un paradoxe : cela nous apparait contradictoire car c’est contraire au bon sens commun. En mathématiques, si quelque chose est fini alors il a la même taille que le regroupement des parties qui le composent. Mais si quelque chose est infini « le raisonnement habituel » ne marche plus : deux choses peuvent avoir la même « taille » alors que l’une est une sous partie de l’autre. C’est surprenant ... en apparence : c’est que « avoir la même taille » est une expression « ambigüe ». Galilée dans Discorsi évoque le problème à propos du paradoxe : 2 segments de longueur inégale ont autant de points l’un que l’autre.

A chaque point de [AB] correspond un point de [MN] ... alors que [MN] est plus court !

« C’est l’une des difficultés qui surgissent quand nous essayons, avec nos esprits finis, de discuter l’infini, lui assignant ces propriétés que nous donnons au fini et limité ; mais ce que je pense est erroné, parce que nous ne pouvons pas parler des quantités infinies en tant qu’étant celui plus grand ou inférieur ou égal à des autres. »

Hotel complet Le mathématicien Hilbert au début du XX° siècle proposa une illustration sous le titre « paradoxe de l’hôtel infini ». Imaginons un hôtel qui comprend une infinité de chambres toutes occupées. S’il arrive une infinité de nouveaux clients pour les loger, l’astuce consiste à déplacer les anciens occupants. Celui de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la chambre 2 passe dans la chambre 4, celui de la chambre 3 passe dans la chambre 6, celui de la chambre 4 passe dans la chambre 8 et ainsi de suite de façon à ce que les anciens occupants n’occupent que des chambres à numéro pair. Ainsi les nouveaux arrivants n’auront plus qu’à se loger dans les chambres à numéro impair qui sont en nombre infini !