PRATIQUE MATH

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Tâche complexe en mathématiques

La mise en pratique

lundi 17 novembre 2014, par Alfred Bartolucci


Qu’est-ce qu’une tâche complexe ?

Maîtriser le socle commun, c’est être capable de mobiliser ses acquis (savoirs, savoir-faire, savoir-être) dans diverses situations d’apprentissages et de vie.

Distinction entre tâche simple et tâche complexe :

Une tâche simple consiste, dans une situation familière, à investir une procédure élémentaire ou une connaissance précise. Elle laisse généralement peu de marge d’initiative à l’élève. L’échec sur une tâche simple résulte d’un obstacle particulier à la compréhension du savoir en jeu, d’une mémorisation peu fiable ou d’une confusion particulière dans le traitement.
Exemple :

  • Compléter un tableau de proportionnalité.
  • Calculer le côté inconnu de l’angle droit d’un triangle rectangle dont on donne la mesure des deux autres côtés.
  • Donner l’écriture développée de : 3(a + 5a) + 2 - a

Une tâche simple peut être compliquée. Pour certains élèves de sixième poser et effectuer la division de 1,6 par 25 est vécu comme une tâche compliquée.

Une tâche complexe n’est pas une somme de tâches simples. Traiter une tâche complexe appelle à une analyse de la situation donnée pour envisager des étapes possibles en vue de répondre à ce qui est demandé. Son traitement combine diverses connaissances pouvant se référer à plusieurs disciplines, divers savoir-faire et de divers savoir-être que l’élève doit mobiliser à bon escient. La mise en situation d’une tâche complexe peut conduire l’élève à exploiter diverses ressources (outils scolaires, support documentaire papier ou numérique, logiciel, personne ressource, ...) et à se référer à des savoirs non spécifiquement scolaires.

Tâche complexe et situation problème en mathématiques

Un problème en mathématiques est une question dont on ne parvient pas à envisager de modalité de traitement spontanément. Une activité qui nécessiterait de mettre en œuvre en quelques étapes familières des procédures et des connaissances connues n’est pas un problème. Un problème nécessite un traitement des données et l’élaboration « tatonnée » d’une démarche, chaque étape appelant à mobiliser diverses procédures ou savoirs qui peuvent être élémentaires.

Un problème ouvert en mathématiques est un énoncé court, qui n’induit ni méthode, ni solution. Sa solution n’est pas évidente mais il est exprimé simplement ce qui permet à tous les élèves de s’engager rapidement dans divers essais et conjectures….

Une situation problème en mathématiques est une situation d’apprentissage organisée autour d’un obstacle à l’acquisition d’un savoir. Pour l’élève elle présente un défi à sa portée alors qu’en fait il ne dispose pas du savoir adéquat. Elle sollicite de sa part diverses actions familières et l’utilisation de connaissances antérieures avec l’objectif d’une remise en cause certaines de ses représentations en perspective de l’élaboration de nouveaux savoirs.

Comme on peut le remarquer à partir des définitions qui sont données il y a une forte proximité entre tâche complexe, problème, problème ouvert et situation problème.

Tâches complexes, et compétences du socle commun.

Des tâches complexes ce sont d’abord des activités que nous proposons déjà aux élèves. Bien sûr elles certaines peuvent être moins « ordinaires », avec une dimension interdisciplinaire, mobilisant une organisation et des outils particuliers. Dans nos classes, on peut sans préparation exceptionnelle, envisager des mises à l’essai de tâches complexes sous formes de problèmes à chercher en sous groupes.

On attend que les élèves, successivement seuls, par voisinage (petits sous groupes) et en assemblée de classe se questionnent, explorent des pistes, échangent, confrontent, rendent compte…. Pour l’élève le contrat n’est pas de produire « La » réponse en évitant de commettre des erreurs comme on le lui demande habituellement dans un traitement dont la démarche est familière. Ici, l’élève doit accepter de ne pas voir tout de suite ce qu’il peut faire, engager divers essais pour tenter d’élaborer un chemin vers la réponse mais aussi il doit verbaliser ce qu’il a fait, justifier les avancées réalisées, expliciter les obstacles rencontrés, prendre part à des confrontations de propositions, contribuer à une synthèse collective.

Un élève qui a contribué positivement à la « recherche d’un problème » dans un scénario de type tâche complexe a sans doute du mobiliser des savoirs, appliquer des procédures mais bien plus que cela il a exercé son potentiel à chercher, à imaginer des pistes, à s’organiser pour garder le cap, à verbaliser pour communiquer à d’autres, à débattre pour stabiliser une proposition, … Mais pour que cela se produise de façon moins aléatoire dans de telles situations, l’enseignant doit traduire ses intentions sous-jacentes en objectifs à évaluer. Le référent de la formation en mathématiques se trouve enrichi. C’est dans ce contexte qu’est à lire la portée en mathématiques des compétences du socle commun. Ainsi, former les élèves aux compétences définies dans le texte qui présente le socle commun c’est ouvrir la formation en mathématiques des élèves de collège mais c’est aussi renforcer le sens qu’ils peuvent donner aux savoirs spécifiquement mathématiques.

Quelques exemples ?
Situation de recherche 1
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A.
AB = 6 cm
MNRS est un carré.
Calculer son aire.

Situation de recherche 2
ABC est un triangle rectangle en A.
AB = 6 AC = 4
Calculer la mesure du côté du carré.

Situation de recherche 3

Situation de recherche 4
Voici toutes les fractions irréductibles inférieures à 1 et de dénominateur 9.

  • dénominateur 12 ?
  • de dénominateur 32 ?
  • de dénominateur 23 ?
    Quelle réponse générale peut-on tenter à la question « Pour un dénominateur donné, combien existe-t-il de fractions irréductibles, inférieures à 1 ?

Situation de recherche 5
ABCD est un rectangle. On trace le cercle (C1) de centre A et de rayon AB, le cercle (C2) de centre A et de rayon AD et cercle (C3) de centre A et de rayon AC. Montrer que la couronne grisée extérieure a même aire que le cercle (C2).

Situation de recherche 6 On empile des boîtes comme indiqué sur le dessin. Pour avoir un deuxième niveau il faut avoir 3 boîtes à la base, pour avoir un troisième niveau il faut en avoir 5 boîtes à la base. Combien faut-il de boîtes pour constituer un empilement de 50 niveaux ? Par combien de boîtes faut-il compléter l’empilement de 49 niveaux pour obtenir l’empilement de 50 niveaux ?

Situation de recherche 7
On choisit trois entiers consécutifs, par exemple 5 ; 6 et 7. On calcule leur produit : 5 x 6 x 7. On obtient 210. On ajoute à ce résultat celui des trois nombres qui est au milieu, ici c’est 6. On obtient 216.
On remarque que 216 = 63.
On reprend trois entiers consécutifs, par exemple 11 ; 12 et 13. On applique les mêmes calculs. 11 x 12 x 13 = 1716 et 1716 + 12 = 1728
On remarque encore que 1728 = 123.
Est-ce toujours vrai pour tout choix de trois entiers consécutifs ?

Situation de recherche 8
Dans un club de gymnastique, 9 membres sur 10 sont des garçons. Un groupe de 17 filles vient de s’inscrire au club, de ce fait, dans le club de gymnastique il y a maintenant 7 membres du club sur 8 qui sont des garçons. Combien y a-t-il de filles dans le club depuis l’arrivée des 17 filles ?

Situation de recherche 9 Sur la figure ci-contre ABC est un triangle équilatéral de côté 1, les quadrilatères dessinés sur chacun de ses trois côtés sont des carrés. Calculer le périmètre de l’hexagone tracé en gras sur la figure.

Situation de recherche 10
Une règle de 12 centimètres de long comportant 12 graduations permet de mesurer en mesures entières des segments de 0 à 12 centimètres.
Mais la règle ci-dessous est graduée partiellement ; permet-elle malgré tout de mesurer en mesures entières des segments de 0 à 12 centimètres ? Justifiez votre réponse Déterminer le minimum de marques nécessaires pour mesurer en mesures entières des segments de 0 à 15 centimètres.

Situation de recherche 11
ABCD est un rectangle de dimensions L et l.
[AC] une diagonale du rectangle.
Le point G est choisi sur [AC]
La perpendiculaire à (AD) tracée par G coupe [AD] en F.
La perpendiculaire à (CD) tracée par G coupe [CD] en E.
On a un rectangle 7x3 et on choisi le point G pour que GEDF soit un carré. Dans ce cas particulier quelle est la mesure du côté du carré GEDF.

Situation de recherche 12
On dessine divers rectangles sur un quadrillage à mailles carrées de 1 cm de côté.
On s’intéresse à l’aire de la bordure de 1 cm de côté sur le pourtour du rectangle. Cette aire est fonction des mesures des côtés du rectangle.
Pour quelles mesures du rectangle l’aire de la bordure est égale à l’aire du rectangle central ?

Situation de recherche 13
Le nombre 18 est divisible par 18
Le nombre 108 est divisible par 18
Qu’en est-il du nombre 1008 ? du nombre 10008 ? du nombre 10n + 8 ?

Situation de recherche 14
Soient deux entiers, par exemple 3 et 5.

  • 1. Calculons :
    • 3x3x3 + 5 = 32
    • 5x5x5 + 3 = 128
  • 2. Puis calculons la différence entre ces deux résultats : 128 – 32 = 96
  • 3. Cette différence est multiple de 6 : 96 = 6x16

Recommençons avec deux autres entiers, par exemple 7 et 11

  • 1. Calculons :
    • 7x7x7 + 11= 254
    • 11x11x11 + 7 = 1338
  • 2. Puis calculons la différence entre ces deux résultats : 1338 – 354 = 984
  • 3. Cette différence est multiple de 6 : 984 = 6x164
    Si on applique la procédure à deux nombres entiers positifs quelconques obtient-on toujours nécessairement un multiple de 6 ?

Situation de recherche 15
Pour un parallélépipède rectangle donné on peut considérer 3 périmètres : ils sont représentés sur les trois dessins ci-dessus par une ficelle jaune..
Pour deux parallélépipèdes rectangles donnés on a les informations suivantes

  • pour le premier, la mesure des trois périmètres sont : 12, 16 et 20.
  • pour le deuxième, la mesure des trois périmètres sont : 12, 16 et 24.

Déterminer des deux donnés, quel parallélépipède rectangle a le plus grand volume ?

Situation de recherche 16

Des câbles cylindriques ont pour section 10 mm. On veut les assembler dans une gaine également cylindrique.
Sachant que la gaine est ajustée sur le câbles (voir schéma), déterminer le diamètre de la gaine dans le cas où elle :

  • enferme deux câbles
  • enferme trois câbles
  • enferme quatre câbles