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Approcher la valeur du nombre PI par constructions géométriques

Le sens du nombre et de sa grandeur

jeudi 31 mai 2012, par Alfred Bartolucci



On sait représenter par des constructions géométriques la grandeur de divers nombres positifs : construction d’une surface dont l’aire est trois septième de racine de deux, construction d’une ligne de longueur PI, … Essayons, à partir de constructions géométriques d’approcher avec des précisions successives un nombre dont on méconnait une écriture significative de sa grandeur.

Choisissons un cercle de diamètre 1, la longueur du cercle est égale à PIx1 c’est-à-dire à la longueur du cercle mesure PI. Mais comment traduire, même de façon approximative, la grandeur du nombre PI, par une écriture significative ? Les figures de 1 à 4 ci-dessous illustrent une approche progressive de la longueur du cercle par deux polygones réguliers, un circonscrit, l’autre inscrit.

Ainsi la longueur de la ligne cercle de diamètre 1 est approchée par valeurs inférieures croissantes et par valeurs supérieures décroissantes :

Question 1

Exploiter les informations lues sur les quatre figures qui précèdent pour expliciter et justifier l’affirmation : « Ainsi la longueur de la ligne cercle de diamètre 1 est approchée par des valeurs inférieures croissantes et par des valeurs supérieures décroissantes ».

Cela donne diverses valeurs qui approchent le nombre PI.

A l’école, dans des calculs de la vie courante, la valeur approchée de PI habituellement utilisée est 3,14. La détermination d’une valeur approchée de PI, par la construction de polygones réguliers circonscrits et inscrits à un cercle, pour 8 côtés, est bien moins précise que la valeur approchée usuelle.

Avec un polygone de 36 côtés on obtient l’encadrement de PI suivant :
3,137606739 < PI < 3,149591887
Ce qui est encore bien modeste par rapport à l’encadrement d’usage courant :
3,14 < PI < 3,15

L’intérêt de cette approche est qu’elle n’implique pas des savoirs mathématiques « trop complexes » et que, si on poursuit les constructions pour un nombre assez grand de côtés, on peut obtenir une précision pour PIaussi grande qu’on le souhaite.

Archimède, vers 250 avant notre ère, utilisa cette méthode pour approcher la valeur de PI. Avec deux polygones à 96 côtés il a établi un encadrement de PIpar deux fractions

Cela donne en écriture décimale un encadrement plus précis que 3,1408 < PI < 3,1429, ce qui est remarquable.

Question 2

Retrouver, en exploitant les figures 1, 2, 3 et 4 les calculs qui conduisent aux résultats du tableau 1. Présenter les avec les explications et les justifications nécessaires.

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