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Des activités autour du raisonnement et de la démonstration.

Compétence : Chercher, prouver Questions d’oral RAEP ou autres ...

dimanche 14 décembre 2014, par Alfred Bartolucci


Voilà un ensemble de questions pour chercher, raisonner, prouver, démontrer. Elles sont présentées en vrac. Chacun peut trouver celles qu’il peut traiter. Il est possible qu’en se laissant tenter par d’autres plus énigmatiques, on puisse avoir la surprise d’approcher, voire de trouver une solution ... alors que d’autres questions, à première vue plus accessibles résistent.

  • 1. Démontrer que l’aire de ONDK est égale à l’aire de OMBL
  • 2. Pour n entier quel est le nombre de diviseurs de n² – n + 11.
  • 3. Démontrer que : Si le carré d’un entier est pair (impair) alors l’entier est pair (impair).
  • 4. Peut-on construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 3 cm et BC = 1.8 cm ?
  • 5. Existe-t-il un triangle équilatéral dont les sommets sont sur les nœuds d’un quadrillage carré.
  • 6. Que décidez-vous pour l’affirmation suivante : « Quatre disques qui ont pour diamètres les quatre cotés d’un quadrilatère convexe recouvrent ce quadrilatère. », vraie ou fausse ?
  • 7. Existe-t-il dans R des valeurs solutions de l’équation .
  • 8. Soient deux droites parallèles D1 et D2 du plan orienté et un point A n’appartenant ni à D1 ni à D2. Combien de solutions existe-t-il pour construire un triangle équilatéral ABC tel que B soit un point de D1 et C un point de D2.
  • 9. Étudier la parité de la somme de deux entiers.
  • 10. Soient A, B et M trois points du plan, comparer MA et MB en fonction de la position du point M par rapport à la médiatrice de [A B].
  • 11. Démontrer que « Si le carré d’un entier n est pair, alors n est pair ».
  • 12. Démontrer que la réciproque de la propriété « si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires » est fausse.
  • 13. Démontrer que l’identité suivante est fausse.
  • 14. Pour a et b deux entiers naturels tels que 0 < b < a, pgcd (a , b) = pgcd (a , a - b).
  • 15. Pour a et b entiers naturels, est-ce que : ab(a² − b²) est divisible par 3.
  • 16. Si le triangle A’B’C’ a deux côtés égaux respectivement à deux des côtés du triangle ABC et un angle égal à l’un des angles du triangle ABC, peut-on conclure à l’égalité des troisièmes côtés des deux triangles ?
  • 17. Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
    • Deux rectangles de même périmètre ont aussi la même aire.
    • Deux rectangles de même aire ont aussi le même périmètre.
    • Deux triangles isocèles de même aire ont aussi le même périmètre.
  • 18. Si A’ est le symétrique de A par rapport à O, le quadrilatère ABA’C est-il un rectangle ?
  • 19. Peut-on déduire si la somme des chiffres d’un entier est multiple de 6 alors ce nombre est un multiple de 6 ?
  • 20. Soit une droite (d) et deux points A et B en dehors de cette droite. À tout point M de (d), on associe le deuxième point M’ d’intersection des cercles de centres respectifs A et B et passant par M. Quel est le lieu de M’ quand M décrit (d) ?
  • 21. Vrai ou faux ? « Pour tout entier, l’entier a² - a + 11 n’admet que 2 diviseurs.
  • 22. Vrai ou faux ? « Si la somme et la différence de deux entiers sont des multiples de 7, alors ces deux entiers sont multiples de 7 »
  • 23. Démontrer la propriété : « Si un nombre est multiple de 60, alors il est multiple de 6 et de 15 ». Formuler la réciproque de cette propriété. Cette réciproque est-elle vraie ?
  • 24. n étant la somme de deux carrés d’entiers, prouver que le reste de la division de n par 4 n’est jamais égal à 3.
  • 25. ABCD est une pyramide régulière (toutes les faces sont des triangles équilatéraux). Peut-on, oui ou non, couper cette pyramide par un plan de telle façon que la section soit un carré ?
  • 26. SABCD est une pyramide à base carrée de 6 cm de côté et dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux. On s’intéresse au chemin le plus court du point A au point J, milieu de [SC], en se déplaçant à la surface de la pyramide. Déterminer la position de T sur l’arête [SB] qui donne le plus court chemin, ainsi que la longueur de ce trajet.
  • 27. On considère un segment [AB] et C un point quelconque n’appartenant pas à la droite (AB). Sur la demi-droite [CA), le point C’ est tel que C’A = 6CA. I est le milieu de [AC’] et K est le milieu de [BC’]. (CK) coupe (AB) en M. Le point M change-t-il de position si l’on déplace C ?
  • 28. Un château de carte est un « empilage » organisé de la façon suivante : Combien faut-il de carte pour construire 5 étages, 12 étages, 100 étages et de manière générale le nombre « n » étages ?
  • 29. Démontrer la propriété : « Si un point M est sur un cercle de centre O et de rayon r, alors OM = r ».
  • 30. Démontrer la propriété : « Si un triangle est rectangle alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit (c’est à dire que la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de l’hypoténuse) ».
  • 31. Démontrer la propriété : « Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB] alors (MA) est perpendiculaire à (MB) ».
  • 32. Démontrer la propriété : « Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles ».
  • 33. Démontrer la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles ».
  • 34. Démontrer la propriété : « Si A, B et C sont trois points tels que (AB) et (AC) sont parallèles, alors A, B et C sont alignés ».
  • 35. Démontrer la propriété : « Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une d’elles, alors elle est perpendiculaire à l’autre ».
  • 36. Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
  • 37. Démontrer la propriété : « Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment ».
  • 38. Démontrer la propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et de même longueur alors c’est un rectangle.
  • 39. Montrer que la section d’une sphère par un plan est un cercle. 40. Démontrer que les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes. 41. Démontrer que les 3 médianes d’un triangle sont concourantes. 42. ABC est un triangle. On note O le point d’intersection des 3 médiatrices des côtés du triangle. H le point d’intersection des trois hauteurs du triangle G le point d’intersection des trois médianes du triangle Quelle st la position des points O ; G et H
  • 43. Démontrer la formule de l’aire d’un triangle.
  • 44. Démontrer la propriété : Si deux angles alternes internes sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante, alors il sont égaux.
  • 45. Démontrer la propriété : Si deux angles correspondants sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante, alors il sont égaux.
  • 46. Démontrer la propriété : Si deux angles alternes internes sont de même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
  • 47. Démontrer la propriété : Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires
  • 48. Démontrer la propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et de même longueur alors c’est un rectangle.
  • 49. Démontrer la propriété : Si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre avec , alors (MN) // (BC)
  • 50. Démontrer la propriété : Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes. Leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.
  • 51. Démontrer la propriété : Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes. Leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. 52. On donne : ABC triangle ; -** (DF) // (BC) et (DF) passant par A  ;
    • (EF) // (AB) et (EF) passant par C ;
    • (DE) // (AC) et (DE) passant par B ;
    • (BH) est une hauteur du triangle ABC.
      Montrer que (BH) est la médiatrice de [DE].
  • 53. Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est à égale distance des deux côtés de cet angle.
  • 54. Si un point est à égale distance des deux côtés de cet angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
  • 55. Démontrer la propriété : Dans le triangle ABC, tout point P de la médiane [AM] détermine deux triangles APB et APC dont les aires sont égales.
  • 56. Démontrer la propriété : Dans tout triangle le point d’intersection des médianes, le point d’intersection des bissectrices et le point d’intersection des médiatrices dont alignés.
  • 57. Démontrer la propriété : Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un cercle dont son diamètre est l’hypoténuse.
  • 58. Démontrer la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un de ses côtés alors il est rectangle.
  • 59. Démontrer la propriété : L’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre correspondant.
  • 60. Démontrer la propriété : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu
  • 61. Démontrer la propriété : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
  • 62. Démontrer la propriété : Si a et b désignent deux décimaux relatifs alors il existe un nombre relatif et un seul, qui ajouté à b, donne a.
  • 63. Démontrer la propriété : Si a et b deux nombres entiers, b non nul, alors
  • 64. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres relatifs a, b et k (b≠0, k≠0) :
  • 65. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres relatifs a, b, c et d (b≠0, d≠0) :
  • 66. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres relatifs a, b, c et d (b≠0, d≠0) :

  • 67. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres relatifs a, b, et c (c≠0) :

  • 68. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres relatifs a, b, c et d (b≠0, d≠0) :
  • 69. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres relatifs a, b, et c : a – (b + c) = a – b – c
  • 70. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres positifs a et b :
  • 71. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres positifs a et b (b≠0) :
  • 72. Démontrer la propriété : Quels que soient les nombres positifs a et b :
  • 73. Démontrer la propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite.
  • 74. Démontrer la propriété : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
  • 75. Démontrer la propriété : Dans un repère, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.
  • 76. ABCD est un carré de côtré 6 cm E est le symétrique de D dans la symétrie de centre C I est le milieu de [BC] Montrer que les points A, I et E sont alignés.

  • 77. On donne :
    • ABCD est un carré de côté 8 cm.
    • Sur [AD), après D on place E tel que DEF = 13 cm
    • Sur [AB), après B on place F tel que BF = 5 cm
      Les points E, C et F sont-ils alignés ?