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Construire géométriquement un nombre

Le sens de la grandeur

mercredi 30 mai 2012, par Alfred Bartolucci


Si on demande de dessiner une surface d’aire 1 cm², 2 cm² ou 12 cm², cela ne nous pose pas trop de problèmes si pour cela on fait appel au rectangle. On pourrait aussi faire appel à d’autres polygones familiers comme le triangle et le carré : certaines solutions sont moins naturelles que d’autres mais leur nombre est sans limite.

Question 1

Illustrer, expliquer en quoi le nombre de solutions pour tracer par exemple un rectangle d’aire 12 cm² est sans limite.

Si on demande de dessiner une surface dont la mesure de l’aire s’exprime par une écriture moins familière que 12, par exemple trois septièmes ou encore neuf septièmes racine de deux dans une unité d’aire donnée, la tâche est moins spontanée à réaliser. Pour ces mesures, une analyse de la demande conduit à mobiliser des connaissances relatives d’une part à « la mesure de la diagonale d’un carré de côté 1 » et d’autre part à « la détermination de la fraction d’une grandeur ».

Question 2

Réaliser la construction d’un rectangle d’aire trois septièmes et d’un rectangle d’aire neuf septièmes racine de deux à partir d’un carré unité de côté 5. Rédiger pour chaque construction les explicitations et les justifications des diverses étapes.

Tout nombre positif, quelle que soit son écriture peut représenter une mesure de longueur ou d’aire. Ainsi, pour chacun de ces nombres il est possible, dans le plan d’une feuille, de construire une ligne ou une surface dont la longueur de l’une ou l’aire de l’autre s’expriment pour une unité donnée par ce nombre.
Mais pour certains nombres positifs, autres que 12, trois septièmes , neuf septièmes racine de deux , …. la construction d’une ligne ou d’une surface dont la grandeur est mesurée par ce nombre est plus embarrassante. C’est le cas, au moins à première vue pour construire une ligne de longueur PI ou une surface d’aire PI.

Question 3


Le carré ABCD est donné comme carré unité (la longueur du côté du carré est choisie comme unité de longueur, l’aire du carré est choisie comme unité d’aire).
Exploiter la formule du périmètre du cercle et celle de l’aire du disque pour :

  • construire une ligne de longueur PI
  • construire une surface d’aire PI

Rappel :

Tout nombre positif, quelle que soit son écriture, peut représenter une mesure de longueur ou d’aire. Comme aussi bien l’inverse que le carré d’un nombre positif sont eux-mêmes positifs, il doit être possible de construire, pour tout nombre positif donné, d’une part l’inverse de ce nombre et d’autre part son carré.

Question 4

Sur l’axe, le point M a pour abscisse a (a =/= 0) Construire le point N de l’axe qui a pour abscisse a².

Question 5

Sur l’axe, le point M a pour abscisse a (a =/= 0) Construire le point N de l’axe qui a pour abscisse 1/a.

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