PRATIQUE MATH

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Quel regard sur les erreurs produites par les élèves ?

L’erreur constatée ne dit rien sur la personne qui la produite.

samedi 23 avril 2011, par Alfred Bartolucci


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Pourquoi nos élèves produisent-ils certaines erreurs  ?

Pas facile à dire. La même erreur peur être un indicateur de problèmes très divers disjoints ou concomitants. Nous reprenons une typologie d’erreurs que nous avions proposée dans le numéro 9 de la revue PRATIQUES maths du CEPEC. Nous esquissons pour chacune des pistes pour agir. Il ne s’agit pas de « faire » dans une logique mécaniste de remédiation qui serait simpliste et dérisoire mais bien d’ouvrir des possibilités d’actions, qui, sans être « La » réponse, peuvent contribuer à prendre en compte, même très partiellement, certains problèmes. Celles-ci peuvent, au moins, permettre à un enseignant de ne pas « rester sec » face à certaines situations de difficulté. Ce regard sur l’erreur, présenté à partir du domaine des mathématiques, peut aussi avoir du sens en le transposant dans d’autres domaines.

Quel regard sur la difficulté ?

La prise en compte qu’un enseignant peut faire des erreurs de ses élèves engage le regard et le rapport qu’il entretient avec la « difficulté ». Ce regard et ce rapport sont d’autre part très liés à son histoire personnelle (scolaire et familiale). Il nous paraît essentiel pour chaque enseignant, de clarifier ses principes d’action face aux erreurs des élèves ainsi que sa hiérarchie personnelle de « gravité » de certaines erreurs. Une telle mise à plat permet de mettre à jour des différences interpersonnelles qui sont au moins à discuter pour assurer certaines prises de conscience. En particulier il peut être un intéressant qu’un enseignant interpelle ses représentations et son action en lien avec les principes suivants :

  • La difficulté n’est pas un état, c’est une émergence possible et évolutive.
  • La difficulté n’est pas liée à une personne. Elle est liée à une personne dans une situation donnée et en référence à des normes. Il convient de distinguer la difficulté de la personne, de la personne en difficulté. La difficulté attribuée à « telle personne » est quelques fois une commodité.
  • La difficulté nécessite une lecture pluridimensionnelle : selon plusieurs points de vue et par différents partenaires au rang desquels l’intéressé lui-même.
  • L’absence de performance ne doit pas être lue comme difficulté mais comme symptôme à identifier.
  • La difficulté peut être le signe d’un savoir qui se construit, d’une compétence qui s’installe.
  • La difficulté ne s’efface pas, elle évolue par un accompagnement de la personne qui la vit.

Une nécessaire cohérence d’équipe

Comment dans une classe une équipe peut-elle intervenir auprès de certains élèves si une mise en cohérence ne s’est pas produite sur ces principes ? Nous avons tenté des reformulations complémentaires dans le champ de la gestion des erreurs :

  • Il ne s’agit pas pour l’enseignant de traquer toutes les erreurs que peuvent produire ses élèves. Corriger certaines erreurs n’empêchera pas leur production. Toutes les erreurs ne sont pas à repérer, à identifier, à analyser. Il y a des erreurs qu’il est préférable de ne pas « souligner ».
  • Face à une erreur occasionnelle ou récurrente il est important de s’intéresser aux conditions de productions de l’erreur afin de repérer en quoi, ces conditions, participent à sa production.
  • Il y aurait danger à interpréter certaines erreurs sans faire des recoupements avec d’autres erreurs, d’autres situations dans divers champs.
  • Pour un élève qui sur un intervalle de temps ne produit pas d’erreur on ne peut pas affirmer que « tout » se passe mieux que pour un élève, qui, sur la même durée, aurait produit plusieurs erreurs.
  • L’objectif de l’enseignant n’est pas d’agir pour que l’élève ne produise plus d’erreur. Les erreurs sont nécessaires à l’apprentissage. _ La pertinence de l’action de l’enseignant se situe dans des pistes pour exploiter certaines erreurs afin que l’élève modifie son état de savoir mais sans prétention de toute puissance et, dans certains cas, en sachant « faire avec » sans désespérer.

Erreurs et pistes indicatives pour agir

  • 1 . Productions d’erreurs dues à des distorsions importantes entre, le modèle social de l’école, le rapport au savoir qu’elle promeut, et les références, les expériences sociales du jeune.
    "Ce qui est donné à apprendre et les conditions de l’apprentissage "impliquent une allégeance" à un modèle, à des priorités qui sont en rupture violente avec mes références, mes repères construits par mes propres expériences. Dans ce cas, le jeune n’acceptant pas le contrat imposé par l’école aura des attitudes d’opposition ou de fuite qui le conduiront en situation de contrainte à produire, malgré tout, des réponses qu’il serait vain de chercher à analyser d’un point de vue didactique..
    Pistes d’actions
    Travailler à constituer le groupe classe, qu’est- ce qui peut faire que dans une classe, chaque élève se sent reconnu, pour tout ce qui le rend conforme au modèle mais aussi pour tout ce qui le singularise. Le respect de chacun est essentiel, l’animation de la classe ne va pas de soi. Les adultes peuvent créer un sentiment de rejet si leur volonté d’instruire écrase des jeunes qui n’y sont pas prêts.
    Travailler le sentiment d’appartenance à un groupe, la classe, à un domaine de questions de savoir « les maths », être vigilant à l’adhésion de certains à certaines formes d’activités. Les enseignants ont des objectifs d’apprentissages de savoirs que seule l’école peut aider à construire mais les modalités pour atteindre ces objectifs doivent être adaptés à certains jeunes qui entretiennent des rapports au savoir et à l’école éloignés de la norme scolaire.
    Accueillir les parents dans l’école. C’est dans la qualité du rapport d’estime que l’école sait témoigner aux parents (malgré tout !) que certains élèves trouveront des raisons de modifier leur rapport à l’école et aux exigences posées par les adultes de l’école.
  • 2 . Blocages affectifs, image de soi dévalorisée, perception négative des maths (quelque chose de froid, de dangereux : on y échoue) ...
    Le manque de confiance en soi, l’appréhension face à l’objet d’étude provoquent des conduites d’erreur qu’on aurait là encore tort d’interpréter d’un point de vue didactique.
    Pistes d’actions
    Valoriser les productions des élèves par des situations de coévaluation. Amener à distinguer je n’y comprends rien et je ne comprends pas. Aider à la prise de conscience de ce qu’on a compris et de ce qu’on n’a pas compris, favoriser la distanciation face à toute situation de difficulté. Apprendre aux élèves à s’auto-évaluer sur la base de critères mais aussi apprendre aux élèves à accepter "à ne pas trouver tout de suite", à chercher sans céder à l’abandon immédiat. Permettre aux élèves qui se « voient » en très grande difficulté de faire l’état de ce qu’ils savent faire : « que sait faire un élève qui se dit nul en math ». A partir de cet état ajuster les épreuves de contrôle : il s’agit d’éviter que régulièrement certains élèves soient soumis à des épreuves qu’on sait qu’ils ne réussiront pas. Il s’agit de proposer, au moins à certains moments, des épreuves significatives pour ceux à qui elles s’adressent et qui peuvent être réussies (sans simplisme). Poser aussi des activités pour lesquelles personne dans la classe n’a de réponse toute faite et "animer" la classe pour que les élèves qui se croient en échec relativisent leurs difficultés en prenant conscience qu’ils ont des idées pour faire avancer la recherche commune. Pour certains élèves, un travail sur l’histoire des savoirs mathématiques peut contribuer à montrer que les maths sont une construction humaine en réponse à des questions sans formalisme à priori !
  • 3 . Distorsions ressenties entre la conduite des apprentissages en math et le projet personnel de l’élève :
    "Pourquoi on fait tout ça ? A quoi ça va me servir ? En quoi c’est important ?". Face à des propositions non finalisées dans le court et moyen terme, par manque de responsabilisation du formé à sa propre formation notamment en termes d’autoévaluation, l’élève se mobilise au mieux irrégulièrement et sans but ce qui le conduit à des échecs moins significatifs en termes d’acquisitions qu’en termes de "projet par rapport aux maths ou à l’école". Pistes d’actions
    Le professeur de mathématiques gagne à être informé des activités que les élèves de sa classe pratiquent relativement à l’élaboration progressive de leur projet personnel (heure de vie de classe, éducation des choix, rencontres avec des professionnels, visites, …).
    Permettre aux élèves de prendre conscience des objectifs poursuivis dans la matière. Informer les élèves sur les types d’activités mathématiques réalisées dans tel ou tel cursus de formation, donner à voir des épreuves données dans des examens correspondant au projet d’études (une épreuve de mathématique de tel CAP par exemple !). Ici, il ne s’agit pas de jouer d’autorité mais d’assurer aux élèves un contact aux réalités.
    Quelles que soient leurs difficultés, aider les élèves pour qu’ils se fixent des objectifs en lien avec leur but. les accompagner pour qu’ils s’organisent pour les tenir.
    Il est essentiel de ne pas vouloir la réussite des élèves "de force", malgré eux. En laissant aux élèves la possibilité de vouloir réussir, l’accompagnement doit contribuer à stimuler leurs initiatives, à clarifier et faire durer leurs engagements.
  • 4 . Acquisitions conceptuelles incomplètes ou non stables.
    • non maîtrise de tous les attributs d’un concept : pour la symétrie axiale prise en compte "de la condition de milieu" mais non "de la condition d’orthogonalité".
    • difficulté à discriminer deux concepts et par là leurs propriétés respectives :
    • des difficultés à intégrer ce qu’est une propriété mathématique : un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle (oui mais il en a quatre ! ?)

Pistes d’actions
Eviter d’enfermer les élèves dans la répition d’explications, dans l’entraînement mécanique à des techniques ou dans la simplification qui évite de se confronter à la véritable compréhension. Mettre en œuvre des activités problèmes pour "intervenir sur les conceptions qui produisent certaines "erreurs" de façon à ce les élèves interpellent ces conceptions erronées. Il s’agit pour agir en remédiation de hiérarchiser les objets de travail : il est préférable de travailler sur le sens du nombre que ré expliquer « la totale » des « règles » de calculs sur les fractions ou les radicaux.. Il nous semble plus pertinent de faire travailler sur le sens comparé d’un ensemble de règles que de « repasser image par image » le film de toutes les règles.
D’une façon générale, trop de remédiation sur tout ajoute à la confusion. La remédiation est aussi affaire de restauration « de la personne » : sélectionner les objets de remédiation, dédramatiser certaines erreurs, réinvestir des savoirs anciens "produisant des erreurs" dans des situations d’introduction de nouveaux savoirs.

  • 5 . Opérations mentales en défaut ou non acquises, soit en termes de stade de développement, soit en terme d’exercice, certaines capacités sont en défaut :
    • des difficultés d’organisation spatiale (droite/gauche, ...) : elles peuvent influer sur la maîtrise de certains savoir-faire ou sur l’acquisition de certains concepts (calculs avec les décimaux, écritures de nombres, constructions géométriques, ...).
    • des difficultés à nommer l’intermédiaire. Des enfants ont du mal à distinguer ce qu’on demande de ce qu’il faut faire pour réaliser ce qu’on demande. Dans ce cas le problème n’est pas lié "au contenu" mais à la capacité à déterminer les étapes d’une démarche ou non.
    • des difficultés à conjuguer général et particulier. Des enfants ont du mal a admettre qu’un carré est un losange et est aussi un rectangle...
    • des difficultés à maîtriser certains cas de non réversibilité :
      Pistes d’actions
      Mettre en œuvre des activités de tri, de classement, de recherche en petits groupes (conflit socio-cognitif) investissant les capacités qui posent problème.
      Faire exprimer oralement une démarche suivie.
      Faire comparer diverses démarches, faire traiter par analogie des démarches qui portent sur des situations familières et d’autres difficiles d’accès pour les élèves.
      Demander pour une série d’activités de repérer des similitudes, des différences …
  • 6 . Obstacles liés à la nature même de la connaissance, difficultés que l’on retrouve dans le développement historique de celle-ci :
    • difficultés liées au zéro.
    • difficultés dues au lien entre « décimal », « fraction », et « rapport »
    • difficultés liées à l’existence et à l’écriture des nombres négatifs.
    • difficultés dues à l’utilisation des lettres
    • difficultés liées à la perception même de racine de 2 comme un nombre...

Pistes d’actions
Ici, ce sont les situations problèmes construites sur un objectif obstacle qu’il convient d’investir. L’apprentissage ne relève pas d’une seule activité mais d’une progression d’activités problèmes intégrée dans la progression d’année. La construction d’un concept nécessite un ensemble d’activités d’approche qui doivent contribuer à ce que pour une notion, l’élève sera capable de produire des exemples, une variété de situations d’utilisation (la variété formulée par l’élève est un bon indicateur de son état de savoir), des propriétés qui la concernent, d’autres notions qui y sont liées.

  • 7 . Erreurs dites d’étourderies : certaines de ces erreurs sont produites en situation de surcharge de l’élève :
    • soit il est dans de mauvaises conditions physiques ou matérielles.
    • soit il a à gérer une tâche globale qui monopolise une grande partie de son attention.
      On peut faire l’hypothèse que dans ces conditions le système de contrôle n’est pas en vigilance d’où la production de réponses erronées.
      Pistes d’actions
      Dans toute situation d’évaluation, identifier tout ce qui peut contribuer à ce que les informations prises soient biaisées par le contexte ou le dispositif dans lequel se fait l’évaluation.
      Exercer l’élève à travailler, des situations (sources d’erreurs pour lui) de plus en plus complexes, qui croisent de plus en plus de contraintes. Pour cela il convient d’éviter la démarche « on part du très simple pour aller vers le très compliqué » mais introduire le seuil de complexe que l’élève pourrait gérer et procéder par ajustements successifs.
      Dans tous les cas, il s’agit d’aider l’élève à se construire des critères de contrôle. Travailler sa capacité de "d’auto-contrôle" : apprendre à se distancier par rapport ce qu’on vient de faire pour porter un regard critique dans plusieurs directions (par exemple la mise en étapes d’une résolution, la mise en œuvre de propriétés de calcul, l’exécution proprement dite des calculs).
      Face à la persistance de certaines erreurs, éviter l’acharnement thérapeutique, savoir-faire avec et aider l’élève à se donner d’autres objectifs et lui-même à faire avec.
  • 8 . Activation de connaissances "partielles" ou de "confort" installées lors d’enseignements antérieurs plus ou moins inconsciemment par des enseignants :
    • quand on multiplie c’est toujours plus grand (ce qui est vrai à l’école primaire dans la mesure où on ne dispose que de nombres naturels).
    • pour conserver une égalité quand on change de membre on change de signe.
    • pour calculer une quatrième proportionnelle, on multiplie les deux nombres de la diagonale connue et on divise par le nombre restant.
    • on fait le produit en croix.
    • si on a le même dénominateur on peut le supprimer....

Pistes d’actions
Il est important que les élèves acquièrent la maîtrise de certains savoir-faire techniques (calculer une quatrième proportionnelle, résoudre une équation simple, …) et la réussite dans l’utilisation de « trucs » en lien avec certains savoir-faire peut contribuer, après coup, à la compréhension de ce qui les fonde. Mais à vouloir trop privilégier des « trucs savoir-faire » au détriment de la compréhension de ce qui les fonde on court le risque de favoriser la pensée « magique » qui est l’origine d’un grand nombre d’erreurs et qui rend difficile l’accès à la compréhension de ce qui est vécu comme inutile puisqu’on sait faire. Ce travers est d’autant plus insidieux qu’il fonctionne avec des élèves, à priori vu en difficulté, et pour lesquels on choisit de leur éviter le passage de certains obstacles nécessaires à une compréhension opérante. C’est le piège de la négociation à la baisse en éliminant progressivement tous les obstacles. D’une façon générale, toute technique qui permet à l’élève de faire sans comprendre se paie très cher si cela concerne des enjeux de formation cruciaux. L’élève en difficulté, comme tous les élèves, ne progresse pas s’il sait faire mais s’il comprend.

  • 9 . Obstacles liés à la mise en œuvre de représentations tronquées introduites par une habitude des enseignants à privilégier des présentations particulières de certains objets mathématiques.
    • l’inconnue c’est x.
    • le carré est posé sur le côté, le losange sur "un coin".
    • même sur papier blanc l’élève sait tracer le symétrique par rapport à une droite si celle-ci est parallèle aux bords de la feuille mais pas si l’axe est "oblique". Pistes d’actions
      Prendre conscience du rôle de certains choix coutumiers dans nos pratiques. Dans une série d’activités sur un même sujet il est essentiel de repérer « les variables de l’activité » qui sans changer les objectifs de savoirs de l’activité produisent des réussites diverses chez les élèves : ce sont les variables didactiques. Ce repérage étant fait il s’agit de mettre en œuvre ces variables de façon à ne pas laisser penser que certains choix de l’enseignant sont "des immuables".
  • 10 . Difficultés provoquées par l’organisation de l’apprentissage.
    Il s’agit ici :
    • soit d’apprentissage précoce : "je fais l’addition des relatifs en sixième, ça passe très bien"... oui mais mesure-t-on les malentendus que ça laisse pour la suite...
    • soit ne la non prise en compte de ce que savent déjà les élèves... : en quatrième et en troisième on refait le cours sur l’addition des fractions de cinquième … sous prétexte que les élèves ne savent pas.
      Pistes d’actions
      Pour une même notion bien distinguer ce qui doit être acquis à un niveau de classe de ce qui doit être acquis au niveau suivant. Il doit y avoir continuité dans l’approche mais il est essentiel qu’il y ait rupture dans « le savoir ». Qu’est ce qui distingue le rectangle de sixième du rectangle de CM2 ? (en CM2 un rectangle a 4 angles droits, en sixième c’est un quadrilatère qui a 3 angles droits !)
      Anticiper un apprentissage, amène à moins approfondir les apprentissages du programme mais surtout désamorce l’enjeu du nouveau pour l’année suivante. Réapprendre de l’appris évite de faire émerger, malgré l’oubli ce que les élèves savent déjà et de fait provoque plus des dés-apprentissages que des renforcements.
      Aussi, en début de tout apprentissage il est important, de faire formuler aux élèves ce qu’ils savent déjà sur un sujet, de le mettre en lien avec ce qui va être appris. Surtout si tout laisse à penser que les élèves ont tout oublié, il est essentiel que les élèves redonnent vie à leur état de savoir. Le nouveau à apprendre doit être mis en scène, en appui sur cet état de savoir, de façon à ce les élèves opèrent un « saut de savoir » en en appréciant les enjeux.
  • 11 . Malentendus liés au contrat qui régit les attentes réciproques de maître et de l’élève par rapport au savoir :
    • si le professeur a donné des nombres c’est qu’il faut s’en servir.
    • si le prof donne cet exercice c’est qu’il doit avoir un rapport avec la dernière leçon.
      Pistes d’actions
      Il convient de démystifier le contrat de l’activité scolaire. Qu’est ce qu’il faut savoir ? Qu’est ce qui est important ? Quel est le sens de cet exercice ? Qu’est ce qu’on demande ? Qu’est-ce qu’il faut faire ? Pourquoi le professeur à posé cet exercice ? A quoi je verrai que je l’ai réussi ? Il s’agit de décentrer les élèves de la seule réponse, de la note et de leur apprendre, dans une activité donnée à faire, à identifier les objectifs du professeur.
  • 12 . Difficultés liées à la communication : l’élève pense juste et exprime "faux".
    Pistes d’actions
    Certaines erreurs d’élèves nous font bondir. C’est le cas quand la rédaction des élèves ne respecte pas les règles du formalisme mathématique. Certes il est important de pointer l’erreur, mais au-delà de cette erreur de formalisme, il est important de reconnaître ce qui est correct dans le raisonnement non écrit (implicite). Le fait de rejeter globalement le travail de l’élève ne lui permet pas d’identifier ce qui est correct et ce qui doit être modifié. Certains trouveront que l’enseignant est exagérément pointilleux sans comprendre d’un point de vue formel la gravité de l’incorrection commise, d’autre vont penser qu’ils n’ont rien compris et vont abandonner la démarche pensée qui elle était correcte. La démarche peut être correcte (pourquoi ne pas la reconnaître) même si l’écriture est à reprendre.
  • 13 . Difficultés dues aux artéfacts d’apprentissage par "reproduction" :
    • l’élève manifeste un comportement de réussite mais il n’a pas opéré une remise en cause de ses représentations conceptuelles erronées.
    • l’élève manifeste un comportement erroné par généralisation de règles vraies dans d’autres contextes :
      Pistes d’actions
      Ici, il convient d’exercer l’élève à justifier ces étapes, à mettre à plat les diverses règles qu’il connaît avec les contextes d’utilisation et les justifications. En particulier pour tout ce qui est : développement / factorisation, équation, fonction et calcul numérique aider l’élève à repérer les contextes d’utilisation, les propriétés attachées à chaque contexte !
  • 14 . Difficultés liées à un apprentissage insuffisant de stratégies méthodologiques :
    • tel élève qui ne fera pas un problème alors qu’il sait le faire mais qui n’a pas su "par quoi commencer".
    • tel autre qui sera suspecté de ne pas avoir appris sa leçon alors qu’il n’aura pas su
      Pistes d’actions
      Faire exprimer les étapes d’une démarche suivie, faire trier des problèmes en fonction de leurs difficultés potentielles, faire réaliser une fiche synthèse pour préparer un contrôle, faire construire des fiches « méthodes et conseils » pour un type d’activité, faire analyser des problèmes pour exprimer ce qu’on sait faire, ce qu’on ne sait pas faire et pourquoi on ne sait pas faire.