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Le hasard pour approcher le nombre PI

formation du jugement, perception du réel, ouverture à la diversité des situations humaines, réflexion sur ses propres opinions

mardi 12 juin 2012, par Alfred Bartolucci


Mise en situation surprenante.

En faisant appel au hasard nous allons déterminer avec une « certaine » précision une valeur approchée du nombre PI. PI est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre d’un cercle pour obtenir la longueur de sa circonférence. La notation du nombre PI a été choisie au XVIIIème siècle, et correspond à la première lettre du mot grec signifiant « périmètre ». Depuis plus de 4000 ans, les mathématiciens ont constaté que PI n’était pas un nombre « ordinaire ». Il est impossible de connaître sa valeur exacte en écriture décimale ou fractionnaire ... La valeur de Pi est aujourd’hui approchée avec une très grande précision. Voici les 51 premières décimales de PI :

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105

Le nombre de décimales connues se compte en milliards, avec une évidence, les chiffres de toute écriture approchée du nombre PI ne font apparaître aucune succession logique entre eux.
Aussi il est étonnant qu’en faisant appel « au hasard » on puisse « approcher » une telle valeur numérique. Le procédé est d’autant plus intéressant qu’il n’est pas limité à la seule approche du nombre PI. En mathématique, toute approche d’une valeur numérique relevant d’une simulation fondée sur « le hasard » est dite méthode de Monte-Carlo (en référence aux jeux de casino). Le grand avantage des méthodes de Monte-Carlo, bien que moins performantes que d’autres faisant appel à des « outils mathématiques » plus élaborés, est de ne nécessiter que le calcul du quotient « nombre de cas favorables sur le nombre de cas possible », ce qui est très simple. Ces méthodes sont aujourd’hui de plus en plus utilisées en physique des particules, en économie, dans l’étude des risques, en physique médicale, …

Exemple de simulation pour déterminer une valeur approchée de PI

Approche de la valeur de PI par la méthode de Monté Carlo

Les figures ci-dessous représentent

  • un carré de côté 2 dans lequel est inscrit un carré de diagonale 2
  • un carré de côté 2 circonscrit à un cercle de rayon 1.

Le rapport entre l’aire de la surface interne par rapport à l’aire du grand carré s’exprime par :

Pour conduire l’étude cela considérons que

  • chacune des deux figures ci-contre représente une cible.
  • on lance des fléchettes qui toutes atteignent leur cible
  • l’impact de la flèche est « au hasard » (on dit « aléatoire » qui fait référence à la fonction ALEA(°) du tableur).

Ainsi, chaque flèche lancée atteint :

  • un point du grand carré extérieur à la surface hachurée
    OU BIEN
  • un point de la surface hachurée

Cas de la figure 1
La probabilité qu’une flèche atteigne le carré inscrit est égale à 2/4 soit à 0,5

Question 1 :
Expliquer et justifier l’affirmation « La probabilité qu’une flèche atteigne le carré inscrit est égale à 2/4 soit à 0,5 ».

Cas de la figure 2
Pour traiter la situation donnée par la figure 2, on choisit de modéliser le lancer de fléchettes avec un tableur.
Principe de la modélisation : l’impact résultant de chaque « lancer au hasard » d’une fléchette est représenté par un point du carré pouvant ou non se situer dans le disque.
Pour désigner chacun de ces points d’impact on peut imaginer un repère du plan comme indiqué sur la figure. Ainsi, chaque point d’impact de fléchette est défini par un couple de coordonnées :

  • l’abscisse comprise entre -1 et 1
  • l’ordonnée entre -1 et 1.
    On peut simuler un lancer au hasard d’une fléchette « en tirant au sort » un couple de nombres, chacun pris de 0 à 1, l’abscisse et l’ordonnée de ce point dans le repère imaginé.
    La simulation peut être mise en place sur une feuille de calcul du tableur : on commande dans deux cellules le tirage au sort un nombre entre -1 et 1 :
  • la valeur dans la première représente l’abscisse d’un point d’impact
  • la valeur dans la deuxième représente son ordonnée.

Le tableau et la figure ci-dessous rend compte de la simulation de 39 lancers de fléchettes.
On remarque que l’aire du grand carré est 4 et que l’aire du disque est PI. De là, en utilisant les résultats de la simulation (voir tableau des valeurs) on en déduit une valeur approchée de PI : PI = 3,1794871

Question 2
Compléter le tableau ci-dessous puis décrire les étapes du raisonnement et des calculs qui conduisent à la valeur approchée de PI trouvée à partir de cette simulation. Justifier.

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