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SITUATIONS DE DOUTE, PREUVE, DEMONSTRATION MATHEMATIQUE

Conditions et exigences de la démontration

jeudi 16 avril 2015, par Alfred Bartolucci


Pourquoi en mathématiques il faut toujours démontrer même quand ça se voit ? On dirait que le prof nous demande ça juste pour nous embêter ! C’est quoi prouver en mathématiques ? Est-ce vraiment utile ? Comment être sûr que la démonstration qu’on vient de faire est correcte ?

A. PARTICULARITE DES SAVOIRS MATHEMATIQUES

En mathématiques on opère sur des objets « abstraits » (des nombres, des expressions algébriques, des équations, diverses relations, des figures …) qui peuvent être « outils » dans des situations diverses mais qui ont une réalité pour eux mêmes. Chaque objet mathématique est désigné par une étiquette (triangle, proportionnalité, fonction, …) et est « compris » par celui qui apprend au travers :

  • de l’énoncé d’une définition,
  • de la formulation de diverses propriétés,
  • de la présentation de quelques exemples significatifs,
  • de la mise en évidence de liens que l’objet a avec d’autres objets mathématiques,
  • de la constitution d’une collection de situations problèmes, mathématiques ou non, où l’objet intervient comme outil…
    En mathématiques, la nature même des objets et du cadre dans lequel on travaille font que les activités à conduire nécessitent d’être vigilant sur la validité de ce qui est traité : modélisation, traduction d’une forme en une autre, traitement en utilisant des règles du modèle…

C’est une des raisons qui font que, la rigueur dans l’administration de preuve et dans la démonstration en particulier, a une grande place dans l’histoire de la construction des savoirs mathématiques et dans leur enseignement.

B. DU DOUTE A LA DEMONTRATION

Nous proposons cinq exemples d’activités classiques pour illustrer la question de la preuve en mathématiques.

ACTIVITE 1

ACTIVITE 2

  • a. Quand on ajoute trois nombres entiers positifs consécutifs obtient-on toujours un multiple de 3 ?
  • b. Quand on ajoute quatre nombres entiers positifs consécutifs obtient-on toujours un multiple de 4 ?
  • c. Quand on ajoute cinq nombres entiers positifs consécutifs obtient-on toujours un multiple de 5 ?
    Ces trois questions conduisent-t-elles au même type de réponse ? Peut-on conjecturer une vérité reconnue comme incontestable pour la somme d’un nombre impair d’entiers positifs consécutifs en lien avec la division de cette somme par le nombre impair considéré ?

ACTIVITE 3

  • ABCD, AMND, BMNC sont des parallélogrammes.
  • AB = 7 cm et AD = 3,6 cm.
  • M est un point de [AB] et N est un point de [CD] tels que : AM = DN = 1,5 cm
    Est-il possible en tenant compte de ces données de construire une telle figure et de faire en sorte que la diagonale [DM] du parallélogramme AMND et la diagonale [CM] du parallélogramme MBCN soient de même longueur ?

ACTIVITE 4

ABCD est un parallélogramme. Le triangle ADN est isocèle en N.

  • M est un point de [AD] et N est un point de [CB].
  • En tenant compte des données de l’énoncé comment tracer une telle figure en placant le point M pour que l’aire du parallélogramme MDCN soit égale au double de l’aire du parallélogramme AMNB ?

ACTIVITE 5 (C1) et (C2) sont deux cercles distincts [AE] est un diamètre du cercle (C1) et [AF] est un diamètre du cercle (C2). Les point A et B sont les deux points d’intersections des cercles (C1) et (C2). Les points E, F et B sont-ils alignés ?

Commentaires sur les activités

Dans chacune de ces activités il est fréquent de douter sur l’issue de la question posée.

  • Pour l’activité 1, une observation de chaque figure en raisonnant sur la composition des surfaces permet de conclure :
    • pour la figure 1 les triangles DAC et DBC ont même aire. Les triangles ADL et BCL sont obtenus à partir de DAC et de DBC en leur « enlevant » le même triangle DLC donc ils ont même aire.
    • Pour la figure 2 le rectangle MDHC et le rectangle BMCG sont chacun obtenus en enlevant à la moitié du grand rectangle un petit triangle et un moyen triangle donc ils ont même aire. Les explications ci-dessus montrent qu’on a compris la situation, il y a de fortes chances qu’elles puissent convaincre quelqu’un qui jusque là doutait sur la réponse à apporter. Elles pourraient être acceptables comme preuve mais elles ne répondent pas aux critères de la démonstration mathématiques (justification de chaque affirmation d’étape dans le raisonnement par une propriété « reconnue », …).
  • Pour l’activité 2, le risque serait d’avoir un à priori trop fort qui pourrait nous conduire à des erreurs. Ici, il convient d’explorer ce qui ce passe en faisant des essais :
    • Si les essais contredisent ce qui affirmé ont peut conclure sans aucun doute que l’affirmation est fausse : par un seul contre exemple (un exemple qui contredit) on démontre que l’affirmation est fausse.
    • Si les essais confirment l’affirmation, on peut les multiplier pour « voir plus loin » mais quel que soit leur nombre des essais réussis ne permettent pas de conclure sur le caractère VRAI de l’affirmation. Ici, on peut émettre une conjecture et chercher à la vérifier. Mais au stade des essais réussis, ce n’est pas une preuve donc pas une démonstration !
    • Pour prouver quand les exemples « marchent » il faudrait
      • soit prendre tous les exemples possibles … ici on aurait du mal
      • soit traduire les informations sous forme générale pour que, dans le cas où on confirmerait l’affirmation à démontrer, on l’aurait fait dans le cas général. Ainsi voyons le cas de la somme de 5 nombres entiers positifs consécutifs. Traduisons de façon générale l’information cinq nombres entiers positifs consécutifs : si le premier vaut a, le deuxième vaut a+1, le troisième a+2, le quatrième a+3 et le cinquième a+4. La valeur de a va de zéro à autant qu’on le souhaite, ainsi la traduction couvre bien tous les cas possibles, la traduction est satisfaisante car générale. Désignons par S la somme des 5 nombre entiers consécutifs on peut écrire

        S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4)

        Cela se calcule facilement S = 5a + 1 + 2 + 3 + 4 ce qui donne S = 5a + 10 en mettant en facteur 5 on obtient S = 5x(a+2) L’écriture de la somme de cinq nombres entiers positifs consécutifs est de la forme 5x(a+2) cela signifie que c’est un multiple de 5. Ici on a apporté une preuve qui avec quelques précisions aurait les qualités d’une démonstration mathématique.

  • Pour l’activité 3, la difficulté vient du traitement qu’on fait naturellement des informations de la figure : alors sur la figure donnée la diagonale [DM] du parallélogramme AMND et la diagonale [CM] du parallélogramme MBCN ont effectivement même longueur, tout porte à penser que CM > DM. Passé cet obstacle, la difficulté est dans l’ordre des tracés à réaliser :
  • le segment [DC] de 7 cm
  • la médiatrice (d) de [DC]
  • le point N sur [DC]
  • l’arc de cercle de centre N et de rayon 3,6 cm
  • le point M intersection de l’arc de cercle tracé avec (d)
  • … à partir de là on complète sans problème
    Ici, le fait d’avoir tracé, on a montré comment c’est possible donc on a prouvé que c’est possible.
  • Pour l’activité 4, la situation de doute vient du besoin de clarifier la situation. Entre les données et la demande il semble y avoir une incompatibilité puisque si on « bouge » M, comme MA = NB, le triangle ne serait plus isocèle … Mais cela n’arrive pas si on trace le parallélogramme en dernier. On trace un triangle isocèle ADN en N, sur [AD] on place M tel que DM = 2xAM, et on complète le parallélogramme. Ici, le doute est résolu du fait qu’on a compris et qu’on a pu expliquer ce qui faisait problème. Sous cette forme on n’a pas justifié la validité de la construction.
  • Pour l’activité 5, le fait de réaliser le tracé et de vérifier l’alignement est une impasse :
    • si les points paraissent alignés sur le dessin, rien ne dit qu’ils le sont en réalité :
    • si les points ne sont pas alignés sur le dessin, rien ne dit que cela n’est pas du à l’imprécision des tracés.
      Une fois encore, pour montrer que les points sont alignés il faut le faire sans prendre appui sur une figure particulière : une démarche consiste à traduire les données de l’énoncé pour utiliser une ou plusieurs propriétés attestées afin de déduire l’alignement des points :

Les droites (BE) et (BF) sont perpendiculaires à la même droite donc elles sont parallèles, comme elles ont un point B commun, les deux droites sont confondues et donc les points E, B et F sont alignés. Ici on a la démonstration type, qui certes est exigeante sur la forme mais qui garantit une preuve valide.

C. LES CATEGORIES DE BESOINS LIEES AU DOUTE EN MATHS

Les exemples précédents illustrent des situations de doute. On est dans le doute quand on éprouve de la difficulté à aborder une question ou bien quand survient un désaccord entre ce que l’on pense et ce qu’affirme un interlocuteur. Pour sortir de la difficulté il y a une échelle de traitements qui dépendent des situations dans lesquelles on est placé et du degré d’exigence qui est imposé. Dans le cadre du cours de mathématiques, chaque élève doit se former à ces diverses catégories de traitements :
Choisir le traitement adapté à la situation donnée et satisfaire aux exigences qui lui sont associées.
L’organiser et le conduire a son terme sans perdre de vue les données et le contexte de la demande.

  • 1. BESOIN D’EXPLICATION S’Expliquer / Expliquer

Pour sortir d’un doute on peut éprouver le besoin de rechercher des éléments pour notre propre compréhension : notre but de est de construire une explication pour soi-même, de se convaincre du caractère vrai ou non d’une information. Satisfaire ce besoin c’est disposer d’éléments personnels de compréhension qui fait qu’une conviction a pris la place du doute. Dans cette phase où on cherche à comprendre, une conviction que l’on a acquise ne présente, à priori, aucune garantie d’être partagée par d’autres. Mais le fait de résoudre pour soi une situation où on éprouvait le doute nous place en mesure de nous préparer à communiquer la compréhension que l’on a acquise à d’autres : on dispose d’une explication.
Après avoir cherché à comprendre, expliquer à d’autres, c’est organiser des éléments rendant compte d’une compréhension que l’on a acquise d’une information en un propos communicable.
Celui qui communique une explication désire partager la compréhension qu’il s’est construite avec d’autres. Mais se partage se fait souvent avec des tensions et diverses difficultés. Le destinataire de toute explication est une personne avec ses propres connaissances et points de vue, il doit :

    • d’une part, « saisir » les éléments de l’explication présentée à partir des références dont il dispose en mémoire pour les comprendre.
    • d’autre part, « accepter » les éléments supposés expliquer qui lui sont présentés. Il n’est pas impossible que celui qui écoute soit en désaccord avec au moins certains points de l’explication.
  • 2. BESOIN DE PARTAGER SA CONVICTION : Convaincre Si le destinataire d’une explication que l’on présente résiste à notre _ discours ou manifeste des désaccord on va éprouver le besoin de convaincre en réponse à sa « résistance ». Dans le débat qui s’installe chacun des partenaires cherche des arguments en appui à son point de vue et susceptibles de s’opposer au point de vue l’autre. Ainsi, convaincre son interlocuteur, contraint à penser une organisation d’arguments persuasifs, à anticiper des objections, … et à entraîner progressivement l’adhésion de l’autre à son point de vue. Mais le jeu doit être ouvert : on peut soi-même être convaincu par les contre-arguments de son interlocuteur. Convaincre ce n’est pas avoir raison à tout prix, convaincre l’autre nécessite une condition : accepter le débat. _ Débattre c’est s’engager à étayer ses positions en acceptant un échange fondé sur l’ explicitations de ses arguments mais aussi sur la prise en considération des arguments de son interlocuteur :
    • en les repoussant avec des contre arguments réfléchis
    • en les intégrant totalement ou en partie à ses propres positions et ce, en toute transparence.
      Un échange où au moins un des interlocuteurs s’obstine à asséner « sa vérité » sans écouter l’autre est sans issue et ne présente aucun intérêt pour convaincre : convaincre ce n’est pas contraindre :
    • pour convaincre on utilise des arguments de compréhension
    • pour contraindre on utilise des arguments d’autorité.
  • 3. BESOIN DE PREUVE : Prouver On peut à la suite d’un débat être convaincu soi même ou à plusieurs d’une affirmation... mais comment se prémunir d’une remise en cause d’un nouvel arrivant dans le groupe ? On aimerait si quelqu’un vient à contester ce qu’on affirme être en mesure de répondre : « ah, non ! on a déjà débattu la question et on a établi que … » et ce, avec des raisons qui nous permettent de le faire. Prouver c’est fonder de façon indiscutable dans un groupe donné une conviction que l’on a acquise. Une preuve est un discours, composé d’arguments et organisés en enchaînements cohérents, le tout étant acceptable par tout un groupe de destinataires car conforme aux règles admises dans le groupe pour attester de la validité d’une affirmation.
  • 4. BESOIN D’UNE PREUVE VALIDEE MATHEMATIQUEMENT : Démontrer
    Les divers savoirs que les hommes ont construits depuis des millénaires et qu’ils continuent à développer répondent, chacun à des exigences particulières fonction du domaine de référence, pour être considérés comme des « savoirs ». En sciences physiques, en biologie, en histoire, en mathématiques … les spécialistes de ces domaines ont progressivement établi pour leur domaine spécifique des critères pour valider les démarches de mise au point de nouveaux savoirs ainsi que ces savoirs eux mêmes. Ainsi, on n’utilise pas les mêmes principes pour valider une preuve en mathématiques ou en sciences physiques.
    En sciences physiques, dans beaucoup de cas le résultat produit par un dispositif expérimental mis en œuvre dans des conditions précises qu’il est possible de reproduire est un savoir valide.
    En mathématiques, le fait d’avoir fait plusieurs essais réussis n’est pas accepté comme argument de preuve valide.

D. Apprendre à démontrer en mathématiques

Dans l’histoire des mathématiques comme dans celles des diverses sciences ce qui est tenu pour vrai évolue dans le temps : bien sûr 2+2 égale toujours 4 mais les connaissances mathématiques s’enrichissent de nouveaux savoirs chaque année. Les apprentissages que l’on fait à l’école illustrent ce phénomène d’enrichissement :
D’une façon générale, en mathématiques l’histoire est marquée par de longues périodes où les mathématiciens de l’époque ont rencontrer de fortes difficultés à établir certaines propriétés. Pour aider à établir des preuves valides, c’est à dire qui ne soient pas contestées par d’autres, les mathématiciens on définis des règles : les critères de la démonstration mathématique.

REMARQUE IMPORTANTE

En fait lors la recherche d’une situation de doute tout est permis : dans un premier temps il faut explorer, chercher à y voir plus clair.... Quand cela est fait on cherche à organiser un discours sur la clarification à laquelle on est parvenue, on structure alors les chaînons d’une preuve, là encore, s’il est utile d’avoir en tête les critères de la démonstration, le but premier est d’aboutir à une argumentation qui prouve sans s’arrêter à la mise en forme. C’est au moment où on se préoccupe de communiquer de façon mathématiquement valide le raisonnement suivi pour prouver qu’on s’assure du respect des règles de la démonstration : on rédige la démonstration en suivant le schéma [Faits  Conséquence] et on contrôle qu’il n’y a pas de manquement dans le respects des critères de la démonstration.

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