PRATIQUE MATH

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Remédiation en mathématiques

Des points de repères pour agir

lundi 26 janvier 2015, par Alfred Bartolucci


I. Situations de repérage de besoins

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Dans une classe pour repérer chez les élèves des besoins éventuels à prendre en compte quatre modalités sont possibles :

  • l’observation naturelle des élèves lors des activités, des mises en situation dans la classe,
  • le dialogue avec l’enfant, sa famille, d’autres partenaires éventuels …
  • l’analyse et l’interprétation de plusieurs de leurs productions sur une période.
  • une activité spécifique de diagnostic : épreuve diagnostique.
    Ce qu’on désigne par évaluation diagnostique est une combinaison de plusieurs de ces modalités.

II. Différentes entrées pour repérer des difficultés chez les élèves

A un moment donné du parcours d’un élève, ce repérage porte sur :

  • 1. la mise en œuvre d’une procédure particulière liée à un savoir
    Exemples :
    • Écriture de nombres entiers dans le système de numération décimal
    • technique de calcul posé de la soustraction
    • utilisation du calendrier pour déterminer des durées
    • mesure d’un angle avec le rapporteur
    • ….
  • 2. la mobilisation de savoirs, de savoir-faire, de démarches, … liés à un domaine mathématique particulier :
    Exemples :
    • reconnaissance et utilisation de la proportionnalité en diverses situations (longueurs, prix, distance/temps, échelles, …)
    • mise en œuvre avec « dextérité » diverses procédures de calcul mental
    • lecture et construction de figures géométriques simples (règle, équerre, compas, rapporteur)
    • maîtrise du sens des opérations
  • 3. la mobilisation de savoir-faire, de démarches, … liés ou croisant plusieurs domaines mathématiques :
    Exemples :
    • mobilisation en situation de la démarche inductive
    • mobilisation en situation de la démarche déductive
    • schématisation, formalisation d’une situation concrète
    • utilisation d’un système de symboles pour lire, écrire
    • organisation des étapes d’un raisonnement
  • 4. la mobilisation de démarches, d’attitudes, de méthodes, de stratégies, … non spécifiques de la matière mais ayant des incidences sur la qualité des apprentissages en mathématiques des élèves.
    Exemples :
    • Acceptation à chercher même si on ne sait pas faire
    • Acceptation à se tromper et à faire des essais
    • Bilan ou auto évaluation après avoir réalisé une activité
    • Lecture d’un énoncé en distinguant les données de la demande et la demande de ce qu’il faut faire
    • Verbalisation d’une démarche suivie ou qu’on pense suivre
    • Reformulation d’un message lu ou entendu
    • Rappel en mémoire et verbalisation des points essentiels relatifs à une notion donnée
    • Coopération en groupe pour chercher et pour comprendre

III. Évaluation diagnostique et définition de besoins

On peut repérer les besoins des élèves pour apprendre des mathématiques sur quatre entrées

  • Mise en œuvre d’une procédure particulière liée à un savoir
  • Mobilisation de savoirs, de savoir-faire, de démarches, … liés à un domaine mathématique particulier
  • Mobilisation de savoir-faire, de démarches, … liés ou croisant plusieurs domaines mathématiques
  • Mobilisation de démarches, d’attitudes, de méthodes, de stratégies, … non spécifiques à la matière mathématique mais ayant des incidences sur la qualité des apprentissages en mathématiques des élèves balisent la cible de l’évaluation diagnostique en mathématiques.

Un bilan diagnostic, réalisé à un moment donné du parcours, consiste à faire l’état sur :

  • ce que sait faire l’élève et en quoi il sait faire.
  • ce qu’il ne sait pas faire en décrivant ce qui fait dire qu’il ne sait pas faire.
    Cette double explicitation pour un élève donné, est un appui pour repérer et définir les besoins à prendre en compte. Il est à noter qu’un bilan qui ne renseignerait que sur les difficultés des élèves, ne faciliterait pas la conception d’actions pour y remédier. En effet, il est très difficile d’aider un élève à progresser si on ne sait pas ce qu’il sait faire et dans quelles conditions il sait faire. On le condamne si on croit qu’il ne sait rien faire !

IV. Repérage de besoins spécifiquement mathématiques et remédiation

  • 1. Remédier à une difficulté considérée locale :
    Exemples
    • a. report d’une longueur avec le compas,
    • b. aspect procédural dans la prise en compte de la retenue dans le calcul d’une somme
    • c. prise en compte de deux contraintes dans le tracé de la droite perpendiculaire à une autre droite et passant par un point donné. Pistes de remédiation :

Dans les 3 exemples, la reprise par l’élève de travaux qu’il a précédemment réalisés et comportant des manques, la verbalisation avec l’aide de l’enseignant du repérage de ce qui va et de ce qui ne va pas dans ces travaux, la réalisation d’activités d’entraînement avec le but de tenir compte de ce qui a été observé, … peuvent contribuer à sécuriser l’élève dans la réalisation de la tâche en question.

  • 2. Remédier à des utilisations persistantes d’une procédure correcte mais dépassée (archaïque par rapport aux apprentissages réalisées) : Exemples
    • a. Utilisation de soustractions successives pour résoudre des problèmes de partage.
    • b. Calcul pensé d’une addition en se représentant dans sa tête l’opération posée et en cherchant à mettre en œuvre l’algorithme du calcul posé.
    • c. Propositions aléatoires pour déterminer un nombre secret compris entre deux valeurs données au lieu de faire des choix « stratégiques » …
      Pistes de remédiation :
      En mathématiques, une nouvelle procédure plus experte est introduite pour faciliter la réalisation d’une tâche. Par exemple, le problème « déterminer deux décimaux dont la somme est 8,57 et leur différence 0,75 », peut être cherché dès l’école primaire par essais / erreurs, ça peut être fastidieux mais il n’y a pas d’autre solution. Au collège l’apprentissage de la mise en équation est de sa résolution offre une autre possibilité pour déterminer des valeurs inconnues. Si des élèves résistent à adopter cette nouvelle approche, l’enseignant peut choisir des données qui rendent couteux voire impossible « ce refus ».
    • a. Pour le premier exemple le choix des nombres en jeux rend lourde la technique des soustractions successives et ainsi le persuade de passer à l’utilisation de la division.
    • b. Pour le deuxième exemple, en proposant des calculs pensés qui se prêtent bien à des raccourcis et en conduisant les élèves à « inventer » de tel calculs, on peut convaincre l’élève de l’efficacité de ces raccourcis et les familiariser avec les procédures :
      Ainsi, 10,42 – 1,97 est plus facile à calculer mentalement si on calcule 10,42 – 2 + 0,3.
    • c. Pour le dernier exemple si pour trouver un nombre entre 0 et 20 un élève essai successivement 1, puis 2, puis, 3 … ou bien s’il choisit ses propositions au hasard … on peut en fonction du niveau de classe proposer de trouver un nombre entre 0 et 1000 ou bien un nombre décimal entre 0 et 20 … ici la façon de s’y prendre de l’élève, lui apparaîtra très vite inefficace…..
  • 3. Remédier à la manifestation réitérée de conceptions erronées :
    Exemples
    • a. Croyance persistante qu’on ne peut pas trouver de valeur pour  afin que l’égalité 8 :  = 16 soit vraie On « croit » que quand on divise un nombre, forcément le résultat doit être plus petit.
    • b. Croyance persistante que la multiplication agrandit toujours
    • c. Confusion entre tracer une perpendiculaire et tracer une verticale.
    • d. Penser que « pour agrandir sans déformation un rectangle de 4 cm x 5 cm afin que la largeur mesure 6 cm » il suffit d’ajouter 2 cm à la mesure de chacun des côtés.
      Pistes de remédiation :
      Ici, la remédiation ne peut pas consister à signaler l’erreur. La difficulté se situe au niveau des conceptions de l’élève. Si on dispensait une « explication » l’élève aurait l’illusion de comprendre et sur l’instant le maître penserait avoir été efficace, mais très vite, l’erreur se manifesterait à nouveau. Cela conduirait à de l’exaspération chez l’enseignant et à du découragement chez l’élève. C’est que les erreurs liées aux conceptions d’une personne résistent. Une piste pour dépasser l’obstacle est de confronter les élèves à des dilemmes lors du traitement de situations problèmes. Dans ce cas, ils ont l’opportunité de « prendre en défaut » leur conception propre et de la modifier.
    • a. b. Pour les deux premiers exemples la collecte et l’analyse de situations familières de la vie courante (achat de 0,650kg de fraises à 6€ le kg, achat avec 6€ de plusieurs crayons à 0,75€ l’un), des situations simples la notion commune d’échelle (échelle 5 ou échelle 0,1), et leur explicitation peut contribuer à des premières prises de consciences. Des activités de calcul à la calculatrice comme calculer 16,4 : 2 sans utiliser la touche diviser ou comme calculer 75 x 5 sans utiliser la touche multiplier, interpellent et « bousculent » les conceptions inadaptées, …
    • c. Pour le troisième exemple, la fabrication d’une équerre en papier par double pliage d’une feuille A4 ainsi que la confection d’un fil à plomb peut être une première étable à la prise de conscience des différences entre les notions de perpendiculaire et de verticale. L’utilisation de ces deux outils ainsi que d’un niveau à bulle et d’une équerre de menuisier en situations concrètes est indispensable : la réalisation matérielle de divers montages et manipulations par les élèves eux-mêmes va les confronter à des réalités « pratiques » et leur poser le problème de la différence d’attributs entre les deux concepts. ….
    • d. Pour le quatrième exemple, une activité d’agrandissement de puzzle est une bonne amorce pour remettre en cause des conceptions. On donne un puzzle sur un carré ABCD de côté 4 cm avec le point F le milieu de [DC] et le point E sur le côté [AE] et à 1 cm du point A (figure ci contre) et on demande de reproduire les pièces du puzzle successivement
      • sur un carré 6x6
      • sur un carré 7x7

La première tâche commence à poser le problème, la deuxième complète la remise en cause de la croyance « pour agrandir il faut ajouter ».

  • 4. Remédier à des difficultés et des confusions multiples sur tout un domaine de savoir
    • a. Production de nombreuses erreurs de différentes natures dans des activités sur les nombres décimaux
    • b. Réussite très aléatoires dans la mise en œuvre de diverses procédures techniques liées à la proportionnalité et confusion lors du traitement de situations s’y référant.
      Pistes de remédiation :
      Dans une telle situation, généralement il est peu probant de reprendre à zéro les apprentissages. Même un élève est en très grande difficulté sur un domaine de savoirs, il dispose d’expériences sur celui-ci du fait des apprentissages qu’il a suivi malgré tout. Il s’agit de proposer une sélection d’activités et de situations problèmes, qui évitent le retour au « B – A – BA mais questionnent les dimensions de base des apprentissages visés.
    • a. Pour des élèves qui appréhendent avec de nombreuses difficultés divers savoirs relatifs aux nombres décimaux, un ensemble d’activités à chercher et à débattre (report de longueurs, distinction entre les nombres pour exprimer une mesure et les nombres pour dénombrer, codage des nombres avec une référence à l’histoire, usage du boulier chinois pour calculer une somme ou une différence, …) permettent de « questionner » et de remettre de l’ordre et des liens dans les savoirs fondamentaux relatifs aux nombres décimaux.
    • b. Pour le deuxième exemple, un ensemble d’activités mobilisant d’abord une approche naturelle de la proportionnalité puis progressivement des outils plus formels à propos de situations complexes et problématiques mais pas compliquées doivent aider à faire des liens entre « bons sens » et savoirs mathématiques à propos de proportionnalité. Des activités réellement conduites par les élèves détermination de catégories d’énoncés relatifs à la proportionnalité, de classements d’énoncés par catégories de traitement, de production d’énoncés en référence à tel traitement permettent à la fois des appropriations et des distanciations. L’entrainement sur des exercices plus techniques complète le travail de remédiation. Il s’agit de stabiliser suffisamment les savoirs de bases des élèves sur la proportionnalité afin que des réussites soient possibles et ouvrent à d’autres progrès.

V. Liens abusifs entre « erreur » / « difficulté » et « besoins »

Attention à ne pas établir de correspondance faussement évidente entre une erreur que produit un élève, une difficulté qu’il exprime et le besoin qu’il peut avoir. Quand un élève se trompe la question à se poser est d’abord « quel est le problème ? ». Un élève qui pour multiplier un décimal par dix hésite pour déplacer la virgule entre la droite et la gauche n’a pas forcément besoins qu’on reprenne la règle de « multiplier par 10 ». Vraisemblablement, il l’a connait puisqu’il hésite ! Le problème, ici, est peut-être que pour lui « multiplier par 10 », se réduit à des transformations d’écritures alors que multiplier par dix c’est rendre dix fois plus grand. Avec une approche des nombres comme exprimant une grandeur, il n’y a pas à hésiter sur « dans quel sens on déplace la virgule quand on multiplie par dix ». Mieux que cela, il n’y a pas à le savoir : la maîtrise des règles de l’écriture des nombre dans le système décimal suffit. Aussi, ici la remédiation pourrait consister à travailler avec les élèves sur le sens de la grandeur des nombres … indépendamment de leur écriture..

VI. La remédiation une affaire d’options et d’adaptations qui doit aussi tenir compte des pratiques réelles de chaque enseignant.

Le repérage de pistes d’actions pour remédier pose trois faisceaux de questions :

  • Que vise-t-on ? Pour quoi intervenir ? Quel regard sur l’élève, sur ses difficultés, sur l’erreur ? Quelle conception de ce que c’est aider un élève  remédiation pour réparer ou pour émanciper, … ?
  • Sur quoi intervenir ? Comment hiérarchiser les besoins repérés chez un élève ? Quelles priorités en termes d’urgence, de pertinence et de faisabilité sachant qu’on ne peut pas agir sur toutes les difficultés … sachant aussi qu’une difficulté ne s’efface pas ?
  • Comment intervenir concrètement ? Comment s’y prendre et comment s’organiser pour le faire ? Quelles adaptations dans la classe alors qu’on doit gérer tous les élèves ? Comment organiser et gérer des regroupements travaillant sur une difficulté particulière ? Comment faire appel dans certains cas à la pédagogie du détour ?

Il n’existe pas de réponse univoque à ces interrogations. Chacune renvoie à une variété de possibilités d’actions. Le risque, face à une telle complexité, serait pour simplifier, de décréter ce qu’il faut faire pour bien faire. On « rigidifierait » un fonctionnement qui gagnerait à être adaptatif. D’autre part, une systématisation imposée de certains fonctionnements ferait fi des options et conceptions personnelles des divers enseignants, seuls et en équipe, ce qui n’est pas sans inconvénients.
Aussi pour qu’un enseignant, seul ou en équipe, se prépare à mettre en œuvre des actions de remédiation avec ses élèves, l’important est qu’il soit familiarisé à une large palette de modalités de fonctionnement. Celles-ci présentées de façon aussi concrète que possible lui suggèrent quelques choix engageants. Ainsi, il peut mettre à l’essai certaines modalités de remédiation et dans la durée en intégrer certaines dans ses pratiques, celles qui lui apparaissent les plus adaptées pour prendre en compte des besoins particuliers de ses élèves.

VII. Remédiation et actions pour modifier les attentes du contrat didactique

La mise en œuvre par le maître d’une action de remédiation visant à résoudre des besoins d’élèves induit nécessairement de fortes sollicitations de ces derniers. Aussi est-il nécessaire d’être attentif au contrat didactique dans la classe c’est-à-dire, aux règles régissant l’attribution des rôles et les tâches entre le maître et les élèves dans les activités d’apprentissage. Les règles du contrat didactique fonctionnant dans une classe sont souvent implicites. Pour certaines, elles ne sont pas souhaitées mais se sont installées, conséquence de certaines options de fonctionnement. Lors des actions de remédiation elles peuvent induire des biais cachés ce qui ne faciliterait pas des changements de posture chez les élèves alors que ceux-ci sont souhaités pour que la remédiation produise des effets.

  • 1. Conduire les élèves à considérer la production d’erreurs comme signe positif qu’on est en train d’apprendre et agir en conséquence.
  • 2. Travailler avec les élèves sur les erreurs avec un grande place à l’évaluation formative, à l’explicitation des démarches, la verbalisation, la confrontation, la reformulation, …,
  • 3. Proposer le plus souvent possible des activités qui ne relèvent pas de la mise en œuvre de « solutions standard ». Faire en sorte par les habitudes de pratique de classe il soit normal de demander de chercher un problème « qu’on n’a pas appris à résoudre ».
  • 4. Promouvoir des activités qui offrent une diversité de modes de résolution : on ne recherche pas « La » solution mais plutôt une solution parmi plusieurs possibles.
  • 5. Favoriser une attitude de questionnement de l’élève centrée plus sur la demande de l’énoncé que sur la divination des attentes supposées de l’enseignant.
  • 6. Dans le cadre d’un contrat personnalisé, habituer les élèves à s’engager sur des objectifs avec des seuils précis de réussite à une échéance donnée en lien avec leurs besoins. Dans ce cadre, l’enseignant propose des activités adaptées et assure les stimulations et le suivi nécessaire.

VIII. Modalités, dispositifs, organisations pour remédier en mathématiques

  • 1. Sollicitation des élèves dans le déroulement du cours pour limiter des difficultés

En cours après avoir abordé un point crucial

  • faire réfléchir tous les élèves individuellement sur ce qu’ils ont compris, OU BIEN
  • faire chercher à tous les élèves une activité impliquant ce savoir

Alors leur demander de confronter par voisinage leur résultat (quelques minutes), ensuite solliciter dans la classe quelques verbalisations par divers élèves avec des questions et des échanges. Le maître dans ce temps essai de ne pas intervenir pour dire ce qui est juste ou non, mais sollicite les élèves de la classe pour contester, ajuster, compléter ou valider ce qui est proposé.

  • 2. Organisation de « séances » ou de « parties de séances » où tous les élèves de la classe ne font pas la même chose en même temps.
    En classe entière, proposer :
  • Des activités par ateliers sur des objectifs identiques de savoirs ou de savoir-faire mais avec des seuils de complexité différents.
  • Des activités par ateliers sur des objectifs de savoirs ou de savoir-faire différents.

Dans une classe, même nombreuse, on peut proposer deux ou trois ateliers différents. Pour une mise en place concrète on propose aux élèves de chaque atelier plan de travail constitué. Ce plan de travail présente diverses activités (n° et page du livre de math) avec un ordre de réalisation, des phases dans le traitement des activités avec des durées indicatives, les modalités (travail seul, confrontation deux), …. L’enseignant circule auprès des élèves pour suivre leur travail. Il peut avoir préparé une fiche du corrigé de certaines activités qu’il autorise certains élèves à consulter pour « contrôler » leur production ….
Une telle modalité de travail en ateliers peut paraître hasardeuse en classe entière. Pourtant, à l’évidence, elle favorise chez les élèves des prises d’initiatives et introduit dans la classe une dynamique de travail « personnel ». _ Un autre effet positif est à noter : si des élèves qui manifestent des besoins ont un temps pour y remédier, d’autres élèves qui, parce qu’ils ont déjà compris s’ennuient, ont l’occasion stimulante de se confronter à de nouveaux défis. Ce type de fonctionnement peut se mettre en place :

  • En préparation d’un contrôle. Dans ce cas la répartition des élèves par atelier se fait sur la base de l’observation de la classe par le maître et de résultats à divers travaux (évaluation diagnostique par exemple) qui ont précédé.
  • Après un contrôle. Dans ce cas les réussites ou non aux diverses activités de l’épreuve permettent de constituer les groupes d’ateliers.
  • 3. Sur des séances de remédiation, temps supplémentaire prévu dans l’emploi du temps.

En plus des séances « habituelles » de cours, il est possible de constituer un groupe de quelques élèves ayant pour objectif de remédier à une difficulté qui leur est commune, sur des séances supplémentaires.. En fonction de la visée de la remédiation, on pourra prévoir l’action sur une séance ou bien sur plusieurs (3 à 5). Il convient d’éviter une durée trop importante, des élèves en difficulté sur un moyen terme pourraient perdent de vue l’échéance de l’action. Aussi, on préfèrera des objectifs plus réduits sur un temps plus limité avec en perspective d’autres sessions de remédiation sur d’autres objectifs s’adressant un groupe d’élèves redéfini.
Le déroulement du travail avec les élèves dans les séances d’une session de remédiation peut suivre le schéma global suivant :

  • Partir de travaux antérieurs des élèves concernés dans lesquels leurs difficultés apparaissent.
  • Conduire les élèves à relire leur travaux, leur faire repérer et verbaliser ce qui est réussi mais aussi ce qui ne l’est pas.
  • Leur faire exprimer le plus précisément possible ce qui semble devoir être amélioré.
  • Faire en sorte que les élèves fassent le point (plusieurs fois s’il y a plusieurs séances de remédiation) sur leurs difficultés et sur leurs avancées.
  • En fin de chaque séance de remédiation faire faire le point aux élèves sur ce qu’ils ont travaillé dans la séance et sur les avancées.
  • En fin de plusieurs séances, aider les élèves à faire le bilan global.
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