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Quelques activités de recherche

Situations problèmes et tâches cpmplexes

lundi 2 mars 2015, par Alfred Bartolucci


Activité n° 1

  • AB = 3 cm
  • BC = 5 cm
  • AC = 7 cm
  • CD = 2 cm
    Écrire deux programmes différents pour construire cette figure :
  • un commençant par le tracé du cercle de centre I …
  • l’autre terminant par le tracé du cercle de centre I ….

Activité n° 2
On fabrique 4 cubes identiques à partir du patron donné par la figure ci-contre.
Sur les faces du cube figurent les nombres de 1 à 6.
On colle les 4 cubes de façon à obtenir le solide :
Réaliser une étude pour déterminer quelle est la somme maximale qu’on puisse obtenir en ajoutant tous les nombres à la surface du solide obtenu.

Activité n° 3

  • On prend un carré de côté 15 cm (Fig. 1).
  • On le plie (Fig. 2).
  • Quel est le périmètre de la figure hachurée (Fig. 3).ainsi mise en évidence ?

Activité n° 4

  • ABCD est un rectangle tel que AB = 2 x BC.
  • E est le milieu de [AB] et AB = BF.
  • En découpant les cinq pièces de ce puzzle de façon expliquer comment reconstituer un carré, un losange, un parallélogramme, un trapèze et un triangle rectangle et isocèle.

Activité n° 5 Quel doit être l’écartement des deux branches d’un compas pour que l’aire du triangle formée par celles-ci soit maximale ?

Activité n° 6
Placer trois points A, B et C non alignés.
Placer un point D qui appartient au cercle passant par A, B et C sans tracer ce cercle.

Activité n° 7 La droite (d) est perpendiculaire à la droite (AB). Tracer, à la règle et au compas, un cercle passant par A et B et tangent à la droite (d).

Activité n° 8
Choisis un nombre strictement compris entre 9 et 100. Multiplie ce nombre successivement par 3, 7, 13 et 37. Recommence en choisissant un autre nombre strictement compris entre 9 et 100. Que remarques-tu ? Quelle conjecture peut-on faire ? Est-elle vraie ? Justifie.

Activité n° 9
On demande à quelqu’un de choisir trois nombres sans qu’il les dise. On lui demande de faire la somme du 1er et du 2ème, puis du 1er et du 3ème et enfin celle du 2ème et du 3ème. On lui réclamez ces trois sommes, dans n’importe quel ordre. A partir de là, comme par magie, on est en mesure de retrouver les trois nombres choisis au départ.
Comment est-ce possible ?

Activité n° 10
Dans le dessin ci-contre, chaque nombre représente, en m2, l’aire du petit triangle dans lequel il se trouve. Quelle est l’aire totale de la figure ?

Activité n° 11
On augmente la longueur d’un rectangle de 10% et on diminue sa largeur de 10%. Que devient son aire ? Justifier.

Activité n° 12
Dans le croquis ci-dessous, chaque nombre représente, en m2, l’aire du petit triangle dans lequel il se trouve. Quelle est l’aire totale de la figure ?

Activité n° 13
On augmente de 30 % la longueur et la largeur d’un rectangle. Que devient son aire ?

Activité n° 14
Dans une caisse carrée de 10 cm de côté, on a disposé 5 bouteilles identiques qui rentrent juste dans la caisse comme le montre le dessin ci-contre.
Quel est le diamètre des bouteilles ?

Activité n° 15
Voici deux situations :

  • 1. On augmente la longueur d’un rectangle de 10% et on diminue sa largeur de 10%. On s’intéresse à son aire.
  • 2. En 2014, les affaires de mon entreprise étant peu brillantes, la prime annuelle des employés en décembre 2014 a été diminuée de 50%. En 2015, une reprise des affaires va permettre une augmentation de la prime de 50% en décembre 2015. On s’intéresse au montant de la prime en décembre 2015.
    En quoi sont-elles semblables et en quoi sont-elles différentes ? Explique.

Activité n° 16
Quelle fraction du carré ABCD représente le triangle grisé MNB, sachant que M est le milieu de [AD] et que (MN) est perpendiculaire à la droite ( BD) ?

Activité n° 17
De quel pourcentage faut-il augmenter la longueur des côtés d’un rectangle pour que son aire soit augmentée de 44% ?

Activité n° 18
On découpe un carré de papier en 6 morceaux rectangulaires (voir figure ci-contre).
La somme totale des périmètres de ces 6 rectangles découpés est 1,20 m. Expliquer comment à partir de ces informations on peut calculer l’aire du carré initial ?

Activité n° 19
Le produit de deux nombres qui se terminent par 76 se termine-t-il aussi par 76 ?

Activité n° 20
On découpe trois triangles équilatéraux de mêmes mesures dans les coins d’un triangle équilatéral de côté 6 cm. La somme des périmètres des trois petits triangles découpés est égale au périmètre de l’hexagone gris restant. Quelle est la mesure du côté des petits triangles ?

Activité n° 21
Est-il vrai que tout multiple de 9 et de 15 est un multiple de 135 ? Explique ta réponse.

Activité n° 22
L’aire de chaque petit disque est 2 cm². A quelle fraction du grand disque correspond la surface hachurée ?

Activité n° 23
Est-il vrai que la différence du cube d’un nombre entier et de ce nombre est multiple de 6 ?

Activité n° 24
Peut-on écrire 2015 comme somme de quatre entiers consécutifs ? Quels sont tous les nombres qui peuvent s’écrire comme somme de quatre entiers consécutifs ?

Activité n° 25
On donne en cm² les aires des triangles OBC, OCD et OAD. Trouve l’aire du triangle AOB.

Activité n° 26
Calcule 25², 45², 75². Conjecture une règle qui permet de calculer mentalement 35² , 65², etc … Explique. Justifie.

Activité n° 27
La somme de 2 nombres est 300. De combien augmente leur produit quand chaque nombre augmente de 7 ? Explique.

Activité n° 28
Quelle est l’aire du quadrilatère ABCD ?

Activité n° 29
Dans une boîte, il y a des jetons. Sarah en prend un, Hugo en prend deux, Sarah en prend trois, Hugo en prend quatre, Sarah en prend cinq…. Et ainsi de suite, chacun en prenant toujours un de plus que l’autre.
Quand la boîte est vide, Hugo a 10 jetons de plus que Sarah. A quelles questions peut-on répondre ?

Activité n° 30
On se donne un triangle ABC, rectangle en A. Comment construire le point N sur [BC] de façon à ce que le rectangle AMNO soit un carré ?

Activité n° 31
Construire un point A sur la droite d1 et un point B sur la droite d2, de façon à ce que I soit le milieu de [AB].

Activité n° 32
ABCD est un parallélogramme. M est un point quelconque de la diagonale [BD].
(OP) et (RQ) sont parallèles aux côtés de ABCD.
Comparer l’aire des deux triangles APB et CQB.

Activité n° 33
En assemblant quatre des cinq pièces suivantes on constitue exactement un carré. Dire, parmi les 5 pièces quelle pièce n’est pas utilisée.

Activité n° 34
Construire sur la ligne dessinée, le centre d’un cercle passant par les deux points A et B.

Activité n° 35
Léa est âgée de 26 ans. Sa nièce Lise a 14 ans. Réalise une étude pour savoir dans combien d’années, Léa, la tante, sera deux fois plus âgée que Lise, sa nièce.

Activité n° 36
Un rectangle est trois fois plus long que large. Son périmètre est 28 cm. Dessine le et indique comment tu as procédé pour déterminer ses mesures.

Activité n° 37
Tu sais calculer l’aire d’un rectangle. Pour quelles figures dessinées sur un quadrillage carré de 1 cm de côté est-il possible, par « astuces », de déterminer l’aire ? Présenter le résultat de l’étude avec des justifications ?

Activité n° 38

  • On considère, d’une part, tous les nombres formés de trois chiffres et qui vérifient simultanément les conditions :
    • Le chiffre des dizaines est le double du chiffre des centaines.
    • Le chiffre des centaines est le tiers du chiffre des unités
      On ajoute tous ces nombres. On désigne par A leur somme.
  • On considère, d’autre part, tous les nombres formés de trois chiffres et qui vérifient simultanément les conditions :
    • Le chiffre des dizaines est le double du chiffre des unités.
    • Le chiffre des unités est le tiers du chiffre des centaines.
      On ajoute tous ces nombres. On désigne par B leur somme. 7_ Réalise une étude qui permette de conclure « quel est de A ou de B, le nombre le plus grand ? De combien il est plus grand ? »

Activité n° 39
La hauteur d’une table à repasser peut se régler en ouvrant, plus ou moins, l’angle que forment ses pieds. Quelle que soit sa hauteur, la table restera alors toujours parallèle au sol.
Explique comment cela est est possible ?

Activité n° 40
ABCD est un carré. Exprimer la partie coloriée comme une fraction de la surface du grand carré. Expliquer et justifie ce que tu proposes.

Activité n° 41
(AB) et (MN) sont parallèles. Prouver que les deux triangles coloriés ont la même aire.

Activité n° 42 Chaque mur de brique est complété en inscrivant dans chaque case la somme des deux nombres en dessous. Avec cette règle chercher à compléter les murs de brique suivants : Explique comment tu as procédé dans chaque cas et en déduire un procédé qui permet de déterminer (s’il existe) le nombre qui devrait se trouver dans la brique comportant un point d’interrogation. Est-ce qu’il est possible de généraliser ce procédé pour déterminer (s’il existe), pour les murs de briques ci-dessous, le nombre qui devrait se trouver dans la brique comportant un point d’interrogation.