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Défintion - Propriété - contre exemple ... les mots pour le dire.

mercredi 15 avril 2015, par Alfred Bartolucci


Définition


Une définition est un énoncé d’attributs qui permettent d’identifier un objet. Une définition relève d’une convention, d’un choix à priori. Dans un référent de « savoirs », ce n’est ni vrai, ni faux, c’est posé comme tel.

  • Les entiers relatifs divisibles par 2 sont appelés nombres pairs. On reconnait un nombre pair par le fait qu’il est divisible par 2 !
  • Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
  • Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.

Propriété

Une propriété est une "qualité propre à une chose". En mathématiques on démontre que certains objets vérifient certaines propriétés. La propriété se démontre.

Exemples de propriétés :

  • La multiplication des entiers relatifs est distributive par rapport à l’addition.
  • Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.
  • Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
  • Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
  • Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur.
  • Un rectangle a deux axes de symétrie.
  • La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
  • Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.

Remarque :

  • A. Reconnaissons qu’il y a ambigüité sur les prémices. Aussi, en collège, on privilégie la forme [Si …. Alors …. ] (Si un quadrilatère est un rectangle Alors il admet deux axes de symétrie).
  • B. On apprend aux élèves un nombre limité de propriétés. Ainsi, pour « une situation de doute », c’est en choisissant dans ce « corpus de propriétés » « la » ou « les » propriétés correspondant aux données de la situation, que l’on construit les enchainements qui résolvent le doute : les résultats ainsi démontrés peuvent prendre le statut de nouvelles propriétés.

Propriété caractéristique


Une propriété caractéristique est une propriété qui doit permettre de différencier une substance ou un groupe de substances. L’utiliser pour identifier une substance est alors un moyen fiable.
En mathématiques, une propriété caractéristique d’un objet permet d’identifier cet objet.
Exemples :

  • Un quadrilatère qui a trois angles droits en a quatre.
  • Propriété caractéristique de deux droites parallèles : toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Propriété caractéristique et Définition :
Lorsqu’on a une propriété caractéristique d’un objet défini par ailleurs, on peut prendre la propriété caractéristique comme nouvelle définition et l’ancienne définition devient alors une propriété...

Définition : On appelle rectangle un parallélogramme ayant un angle droit.Définition : On appelle rectangle un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur.
Propriété : Les diagonales d’un rectangle sont de même longueur.Propriété : Un rectangle possède un angle droit.

Théorème

Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c’est-à-dire une qui peut être établie comme vraie au travers d’un raisonnement logique construit à partir d’axiomes et d’autres théorèmes précédemment démontrés. Un théorème est à distinguer d’une théorie.
Une fois le théorème démontré, il est considéré comme vrai : il peut alors être utilisé pour démontrer d’autres propositions. Démontrer le théorème consiste à démontrer l’impossibilité d’avoir à la fois A vrai et B faux.
Un théorème a généralement :

  • des conditions « prémices » qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d’avance,
  • une conclusion, c’est-à-dire une affirmation mathématique vraie sous les conditions des prémices vérifiées.
    La démonstration, est nécessaire à la classification d’une proposition comme « théorème ».

Quand on formalise les mathématiques, une théorie est un ensemble d’affirmations dont certaines sont des axiomes et les autres des théorèmes démontrables à partir de ces axiomes et au moyen de règles de logique.

Propriété - Théorème L’usage peut conduire à nommer « propriété » quelque chose qui se démontre aisément à partir d’une définition, en opposition à un « théorème » qui concernera un résultat important, une démonstration plus ardue

Condition suffisante - Condition nécessaire

  • Une condition A est une condition suffisante de B, si et seulement si la vérité (l’existence ou l’occurrence de) A garantit (ou produit) la vérité (l’existence, l’occurrence) de B.
    • Si A alors B
    • S’il pleut alors le sol est mouillé : Si la phrase « il pleut » est vraie, alors la phrase « le sol est mouillé » est vraie. La pluie est donc une condition suffisante de l’humidité du sol. Il suffit qu’il pleuve pour que le sol soit mouillé. Néanmoins le sol pourrait être mouillé pour d’autres raisons.
    • Si le camion nettoyeur balaie le caniveau, alors le sol est mouillé.
  • Une condition B est une condition nécessaire de A si et seulement si la fausseté (l’inexistence, l’absence d’occurrence) de B garantit la fausseté (l’inexistence, l’absence d’occurrence) de A.
    • Si A alors B.
    • S’il pleut alors le sol est mouillé. Si la phrase « le sol est mouillé » était fausse alors la phrase « il pleut » serait fausse. L’humidité du sol est donc une condition nécessaire de la pluie : s’il pleut le sol ne peut pas ne pas être mouillé. On ne peut appliquer le concept de pluie que si l’on peut appliquer le concept de sol mouillé, parce qu’il n’y a de la pluie que si le sol est mouillé. On peut l’exprimer en disant :
  • Il pleut seulement si le sol est mouillé.

Dans une proposition conditionnelle vraie (une expression en « si...alors »), l’antécédent est une condition suffisante, le conséquent une condition nécessaire.

  • « ABCD est un carré » est une condition suffisante pour que ABCD soit un losange
  • « ABCD est un parallélogramme » est une condition nécessaire pour que ABCD soit un losange

Une condition A est une condition nécessaire et suffisante de B si et seulement si la vérité (l’existence ou l’occurrence de) A garantit (ou produit) la vérité (l’existence, l’occurrence) de B et la fausseté (l’inexistence, l’absence d’occurrence) de A garantit la fausseté (l’inexistence, l’absence d’occurrence) de B.

Réciproque

La réciproque de la propriété « Si A alors B » est l a propriété « Si B alors A ».
La réciproque d’une propriété n’est pas forcément vraie elle aussi Exemple
Propriété : SI deux angles sont opposés par le sommet ALORS ils ont la même mesure
Réciproque : Si deux angles ont la même mesure alors ils sont opposés par le sommet

Contraposée d’une implication et implication réciproque
Il ne faut pas confondre la contraposée d’une implication avec l’implication réciproque. Exemple en situation familière :
L’implication « S’il pleut, le sol est mouillé » a pour contraposée : « si le sol n’est pas mouillé, il ne pleut pas »
Ces deux implications sont vraies et équivalentes.
L’implication « S’il pleut, le sol est mouillé » a pour réciproque est : « si le sol est mouillé alors il pleut. » (ce qui est faux : le sol peut être mouillé pour d’autres raisons que la pluie.

Les règles du débat mathématique


Un énoncé mathématique est soit Vrai soir Faux
Des exemples ne suffisent pas à prouver qu’un énoncé est vrai
Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit à prouver qu’il est FAUX. On l’appelle un contre-exemple

Différents types de raisonnement


Raisonnement direct
Raisonnement par disjonction des cas (ou cas par cas, par catégories)
Raisonnement par contraposition : démontrer P implique Q revient à démonter non Q implique non P
Raisonnement par l’absurde : on suppose que simultanément que P est vraie et Q est fausse et on cherche une contradiction.
Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple
Raisonnement par récurrence (initialisation, hérédité, conclusion).
Raisonnement par analyse-synthèse (on suppose qu’il existe une solution et on en tire le max d’infos, on reporte dans le pb, pour vérifier que ça convient.

Tâche complexe

Dans la vie courante, les situations sont toujours complexes, à un degré plus ou moins important. Les résoudre ne se réduit pas à les découper en une somme de tâches simples effectuées les unes après les autres sans lien apparent.
Depuis la loi d’orientation de 2005 qui met en avant la notion de compétences et de socle commun, les enseignants ont été incités à recourir aux tâches complexes dans leurs classes. Si l’étiquette était nouvelle, cette pratique pédagogique était déjà présente dans la boîte à outils de certains enseignants. Élaborer une tâche complexe, c’est mettre les élèves en situation pour qu’ils analysent et résolvent un problème. Deux objectifs sont poursuivis :

  • travailler et acquérir des compétences du socle commun.
  • mener une pédagogie différenciée et vivante (où le travail en groupes/oral a la place qu’il mérite)

Tâche complexe : c’est confronter l’élève à une situation-problème, il doit relever un défi : au cours de la séance, l’élève essaye, se trompe, confronte sa vision avec les camarades de son groupe et finalise son travail par une production écrite ou orale. Pour y arriver, il faudra mobiliser « des ressources internes (culture, capacités, connaissances, vécu…) et externes (aides méthodologiques, protocoles, fiches techniques, ressources documentaires…)

  • Mettre l’élève en réelle activité (recherche, verbalisation, formalisation, débat, confrontation, …).
  • Mettre l’élève en position d’engager naturellement sa réflexion des l’action.
  • Laisser l’élève construire sa démarche en tâtonnant, en choisissant éventuellement une stratégie non adaptée ou non efficicace.
  • Privilégier les échanges, les verbalisations, les confrontations, les négociations par petits groupes.
  • Donner aux élèves les moyens de situer leur voie de progrès au cours de l’activité.
  • Organiser une restitution collective pour prendre la mesure de la pertinence et la diversité des solutions apportées, des démarches utilisées …

Situation problèmes / Objectif obstacle

Découverte d’une notion : obstacle épistémologique. Acquisition d’un nouveau savoir. Mise en scène d’un obstacle « de savoir » pour conduire chaque élève à exprimer ses conceptions, à déstabiliser ses certitudes, à provoquer un questionnement, à vivre « un déséquilibre, une rupture de savoir » … Et en fin de compte parvenir, chaque élèves à une nouvelle stabilisation de savoir …. en ayant développer des habitudes de recherche et de questionnement
Ses attributs sont : Élément de savoir en jeu faisant obstacle ; Exploration, investigation, manipulations, expérimentation, confrontations, verbalisation … Stabilisation collective …
Exemples

  • Comment vous y prendriez-vous pour calculer 1,7x2,41 avec une calculatrice mais sans utiliser la touche x ?
  • Soient deux carrés de côté donné. Comment construire un troisième carré dont l’aire soit égale à la somme des aire de ces deux carrés ?

Problème ouvert

Visées : Apprendre à chercher, à sécher, … apprendre à accepter à ne pas trouver tout de suite, à explorer des pistes et rendre compte même si on n’a pas trouvé
Forme : Enoncé court, question lacunaire.
Attributs : Procédure de résolution non induite par le texte. Ouvre sur plusieurs pistes mais non explicites. Pas de savoir « direct » en jeu. Narration de recherche : rendre compte de sa recherche même si on n’a pas trouvé. Pas de correction si pas trouvé …
Exemple : Le nombre 27 peut s’écrire, de plusieurs façons, comme une somme d’entiers naturels. Illustration : 27 = 20 + 7. Ou encore : 27 = 2 + 5 + 7 + 13. Trouve parmi toutes ces sommes celle dont le produit des termes est maximum. Et avec d’autres nombres ?

Problèmes d’entraînement

Visées : Tester ses réseaux de savoirs, développer des attitudes / habitudes pour appréhender la complexité, appréhender, se familiariser avec des procédures expertes,
Caractéristiques : Mise en scène d’une situation globale complexe mais familière dans sa forme, les traitements sollicités et les savoirs (anciens et nouveaux) en jeu.
Attributs : Banque d’énoncés qui familiarisent sur les possibles. Ce sont des problèmes même s’ils sont « plutôt » familiers, appellent à penser une démarche de résolution (pas « trop » de questions enchaînées).
Exemple : On dessine un triangle équilatéral ABE à l’intérieur d’un carré ABCD. Calculer l’aire du carré non couverte par le triangle équilatéral.

Problèmes de mobilisation / transfert

Visées : Enrichir ses réseaux de savoirs, développer des attitudes / habitudes pour appréhender la complexité, intégrer des procédures expertes, stabiliser de « schèmes » de traitement : installer des compétences
Caractéristiques : Mise en scène d’une situation globale complexe, mettant en jeux des savoirs anciens et nouveaux autrement que dans une logique d’application immédiate mais se situant dans la zone proximale de maîtrise de l’élève
Attributs : Banque d’énoncés qui décrivent le champ des maîtrises attendues. Croisement de savoirs, énoncé à une seule question …
Exemple Comment construire la droite passant par A et le point d’intersection des deux droites ?